Meilleure réponse
Ah! Cest une belle observation, et ce que cela nous apprend, cest que les systèmes de nombres à valeur de position permettent à certains nombres davoir plusieurs représentations avec des chiffres différents.
Je vous suggère dessayer de trouver la différence entre les deux expressions numériques ( cest-à-dire, montrez quil y a un nombre entre eux).
Vous ne pouvez pas vraiment le faire de la manière habituelle, car il ny a pas de 9 derniers chiffres pour commencer à faire la soustraction du chiffre le moins significatif , y a-t-il? Cest parce quils durent indéfiniment.
En substance, cependant, vous pouvez commencer par le chiffre le plus significatif et continuer à le «prêter» vers la droite, plutôt que «lemprunter» à la gauche.
Donc, si nous regardons les premiers chiffres, nous avons
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
«Prêter» à droite signifie prendre les unités du nombre supérieur à dix dixièmes (ce que cest!). Soustraire neuf dixièmes laisse un dixième. Mais nous pouvons alors «prêter» cela à droite comme dix centièmes, et soustrayez neuf centièmes de cela, et continuez indéfiniment.
Et cela continue indéfiniment. Il ny a aucun endroit où le processus sarrête et laisse un chiffre, car (dans un certain sens) pour terminer ce processus (infini) ne laisserait que des zéros au fur et à mesure quil progressait « tout le chemin » vers la droite.
Il existe dautres moyens – plus rigoureux et plus élégants – de prouver que 0. \ dot {9} = 1.
Une autre façon dy penser est de se débarrasser du fardeau qui est la décimale b système ase (base dix) et compte en ternaire (base trois). Le ternaire est le système dans lequel nous comptons 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ points. Les nombres en ternaire nont pas de points décimaux mais des points ternaires. En ternaire, nous avons \ frac {1} {3} = 0,1 et \ frac {2} {3} = 0,2.
Mais alors la fraction \ frac {1} {2} = 0. \ le point {1} est sans fin! Sans oublier quen ternaire, le 0 non répétitif. \ Dot {2} = 1, car cest exactement le double de lexpression précédente (si vous permutez les côtés droit et gauche de légalité, il doit en être ainsi).
Cest la chose la plus grande et la plus puissante de légalité. Puisque nous savons quen base dix \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, alors \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, prouvant que le même nombre peut ont plusieurs représentations dans le même système numérique de valeur de position.
La morale de lhistoire est déviter dêtre pris dans ce que nous appelons les choses, mais de se concentrer plutôt sur ce quelles sont et ce quils font .
Réponse
Oui, un divisé par trois est possible dans les champs des nombres réels ou rationnels, et cela équivaut à un tiers.
Il nest pas possible de représenter un tiers en utilisant une notation positionnelle décimale finie. Si vous voulez utiliser une représentation infinie , telle que celle impliquée par les points dans 0.333 \ dotsc, vous feriez mieux davoir une manière formelle de dire ce que cela signifie. Les mathématiciens ont une telle spécification formelle, appelée limites, dans laquelle 0.999 \ dotsc = 1.
Notez que la représentation décimale dun nombre nest pas le nombre lui-même. Tout comme vous nêtes pas votre nom, votre pseudo ou lun de vos nombreux identifiants. Les nombres ont beaucoup de représentations comprenant de nombreuses bases, mots, expressions, etc. Les représentations pour un tiers incluent:
- 0,333 \ dotsc (décimal)
- 0,1\_3 (ternaire)
- \ frac13
- 20 « (minutes – un tiers dheure)
- 120 ° (degrés – un tiers de cercle)
- \ frac26
et ainsi de suite.
Le nombre réel dun tiers lui-même reste à lécart de toutes ces représentations. Il est défini par sa propriété dêtre un divisé par trois. En dautres termes, cest ce nombre qui donne un lorsquil est multiplié par trois. Tout le reste nest quune notation provisoire qui, comme vous lavez noté, est un peu maladroite en décimal.