Meilleure réponse
Il ny a vraiment pas de définition générale de lespace en mathématiques. Presque tous les objets auxquels nous pouvons penser visuellement peuvent être appelés un espace. Les espaces métriques, les variétés, les espaces de Hilbert, les orbifolds, les schémas, les espaces de mesure, les espaces de probabilité et les piles de modules sont tout ce que nous appelons espaces.
La chose la plus proche dune définition générale de lespace est la probabilité, la notion dun espace topologique. Par exemple, les espaces métriques, les variétés, les espaces de Hilbert, les orbifolds et les schémas sont tous des espaces topologiques avec un peu plus de structure.
Un espace topologique se compose dun ensemble de points, X et dune collection de sous-ensembles de X que nous appelons «ouvert», sous réserve des conditions que
- Lensemble vide et X lui-même sont ouverts,
- Toute union densembles ouverts est ouverte,
- Et lintersection dune paire densembles ouverts est ouverte.
Les ensembles ouverts sont supposés être comme les sous-ensembles ouverts de \ mathbb {R}. Au risque dêtre vague, nous considérons les ensembles ouverts comme ces sous-ensembles U de X afin que chaque point de U a puisse être déplacé un peu sans quitter U. Cest littéralement le cas de \ mathbb {R}, puisque le les ensembles ouverts sont définis comme étant les sous-ensembles U de sorte que pour tout x \ dans U il existe un \ epsilon> 0 de sorte que (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subset U (cest-à-dire en déplaçant x de moins que \ epsilon ne résultera pas en un point en dehors de U).
Il savère que cette quantité minimale dinformations – un ensemble de points et une collection de sous-ensembles ouverts – suffit à dire si les fonctions sont continues. Cela rend les espaces topologiques vraiment utiles.
Dun autre côté, tous les espaces en mathématiques ne sont pas des espaces topologiques, ou même, comme dautres lont répondu, un ensemble de points avec une structure supplémentaire. Cest quelque chose que jai été étonné dapprendre il y a quelques semestres.
Le contre-exemple que jai en tête est lidée dune pile de modules, qui (cela devient bizarre!) Est un type particulier de fonctor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, où la pré-image de chaque objet D de \ mathcal {D} est considérée comme la collection de fonctions continues de D à lespace que F est censé représenter.
Comment diable est-ce un espace? Pour avoir une certaine intuition, considérons lensemble des fonctions continues dun espace constitué dun seul point dans un espace topologique, X. Pour chaque point p \ dans X, nous obtenons une fonction prenant le point unique vers p. En ce sens, lensemble des fonctions continues dun point à X décrit les points de X. Si nous considérons des fonctions de quelque chose de plus sophistiqué, disons un segment de ligne, dans X, nous commençons à avoir une idée de la façon dont les points de X sont liés à les uns aux autres – lesquels peuvent être reliés les uns aux autres par un chemin, lesquels sont proches et lesquels sont éloignés les uns des autres, etc. En considérant tous les ensembles possibles de fonctions dans X, nous pouvons en fait déduire exactement ce quest X. Cest une idée qui porte le nom du Lemme de Yoneda . Lidée dune pile de modules est dutiliser cela comme une métaphore: tout foncteur qui «ressemble» à celui qui décrit des fonctions dans un espace topologique peut être utilisé pour définir un «espace».
Ce que je veux souligner est la suivante: il existe de nombreux types despaces en mathématiques, mais si vous voulez avoir une idée de base de ce quest un espace, vous devez étudier les espaces topologiques. Cela dit, les choses deviennent bizarres!
Réponse
Lespace lui-même na pas beaucoup de définition formelle. Cest presque une version mathématique du mot «chose». Peut-être quun synonyme plus proche est «ensemble», mais le mot «espace» implique quil ya un ingrédient supplémentaire … une structure … qui est également en jeu. Sinon, ils « utiliseront simplement le mot » set « .
Différents types despaces ont des définitions. Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui suit certaines règles. Un espace topologique est un ensemble avec une collection spéciale de sous-ensembles qui satisfont à certaines règles. Un espace métrique est un ensemble avec une formule appropriée qui vous indique la distance entre les points de lensemble. Souvent, les types despaces spéciaux ont des noms descriptifs comme ceux-ci.
Dautres types despaces portent le nom de personnes qui les ont étudiés. Espaces de Banach, espaces de Hilbert, espaces Sobolev … ce sont tous des types despaces vectoriels spéciaux avec un peu de structure supplémentaire cela les rend intéressants à leur manière et portent le nom de personnes qui ont joué un rôle important dans le développement de cette histoire.