Meilleure réponse
Nous pouvons représenter nimporte quel entier positif n dans la notation de base dix comme n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, où a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} et a\_k \ neq 0. Puis n \ geq 10 ^ k. La somme des chiffres est a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Cette inégalité découle de a\_i \ leq 9. Il est maintenant facile de voir que si k \ geq 2 alors 18 (k + 1) 0 ^ k. Il nous reste maintenant les éléments n = 10a\_1 + a\_0. Ceux-ci peuvent être facilement vérifiés avec un ordinateur. Voici comment je lai fait avec Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Ainsi, le seul entier positif qui est deux fois la somme de ses chiffres est 18. Si nous autorisons les entiers non négatifs, alors nous avons aussi 0. Je ne sais pas trop comment cette question doit être interprétée pour les entiers négatifs.
Réponse
Le nombre N est le produit des 100 premiers nombres entiers positifs. Si tous les chiffres de N étaient écrits, quel chiffre serait à côté de tous les zéros à la fin?
En gros, nous recherchons 100! et puis nous voulons éliminer tous les zéros à la fin, puis nous voulons savoir quel est le premier chiffre non nul à lextrême droite.
Une façon est de calculer 100! en utilisant un programme comme bc (calculatrice de banc sous Linux ou Unix), puis supprimez tous les zéros pour arriver au chiffre requis.
Examinons une autre façon de résoudre le problème en utilisant le principe de division et de conquête.
Supprimons tous les nombres se terminant par 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 car à mesure que vous multipliez, le dernier chiffre du multiple précédent (produit arrivé jusque-là) ne va pas changer et nous ne sommes pas intéressés par calculer 100! sans zéros quand même.
Regardons les 9 premiers nombres commençant par 2 et ils sont:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
De gauche à droite, 2 * 3 vous donne 6, 6 * 4 vous donne 24, retenez simplement 4 et multipliez-le par 5 pour vous donner 20 (puisque nous voulons éliminer zéro), retenez maintenant 2 et multipliez-le par 6 pour vous donner 12, retenez à nouveau juste 2 et multipliez-le par 7 pour vous donner 4 (sur 14) et multipliez-le par 8 pour vous donner 2 (en jetant 3 sur 32) et multipliez-le par 9 pour vous donner 8 ( jeter 1 sur 18) et le multiplier par 10 vous donne 8 (en rejetant 0 ou 80). Ainsi, vous obtenez un seul chiffre, qui est 8 .
De même sur 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 vous donne à nouveau 8 .
La prochaine série 22, 23…, 28, 29, 30 vous donne 2.
La série suivante vous donne 4
En continuant de la même manière sur la série restante, vous obtiendrez 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 et 2 respectivement.
Maintenant, la finale le travail consiste à multiplier les chiffres comme ci-dessus auxquels nous sommes arrivés pour chacune des séries.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 et à mesure que vous les multipliez chiffres et supprimez le dixième chiffre en cours de route, nous arrivons à 4 comme dernier chiffre.
Ceci est le La réponse finale à la question, 4 est le chiffre requis.