Meilleure réponse
3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)
3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)
3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)
En gros, vous obtenez 3 nombres qui sont exactement:
1 de 0mod3, 1 de 1mod3 et 1 de 2mod3
( mais sans ordre particulier)
Et 3 divise le reste généré ici
si vous avez n entiers consécutifs alors vous avez tous les cas restants pour n (0 à n-1) affectés EXACTEMENT une fois (et donc uniquement parmi chaque entier consécutif) et cette propriété est universelle pour tous les nombres naturels n,
mais 3 arrive à diviser 0 + 1 + 2, qui est la somme de ses cas restants. Vous voyez que 4 ne divise pas 0 + 1 + 2 + 3 = 6 mais 5 divise 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 mais 6 ne divise pas 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15… Donc, cette partie nest clairement pas universelle dans tous les n.
Cette astuce fonctionne juste pour 3 (comme 5) puisque x | Σr avec r couvrant 1 à x-1 pour x = 3 (aussi x = 5), allez en haut de cette réponse pour voir pourquoi seuls les restes comptent et non combien de fois les nombres sont divisibles par 3 😃!
Mais la preuve la plus courte qui ne se soucie pas de «pourquoi nous y arrivons autant que nous y arrivons »serait:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)
Réponse
Pourquoi la somme de trois entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 3? Comment le prouver en utilisant des expressions algébriques?
Soit les entiers k \ text {,} \ text {} k + 1 \ space \ text {et} \ text {} k + 2 où k est également un entier.
Ajoutez-les: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}
\ donc \ text {} cette somme est un multiple de 3 \ text {.}