Meilleure réponse
Par définition, il y a 360 degrés dans une rotation complète; ainsi, 45 degrés est la moitié de la moitié de la moitié dune rotation complète, cest-à-dire 1/8 dune rotation complète.
Prends un carré et trace des lignes du centre vers les coins et vers le points médians de chaque côté. Cela met huit angles égaux autour du centre; ainsi, ces angles sont tous de 45 degrés.
Nous pouvons également voir que nous obtenons des triangles rectangles pour chacun deux, où dans chaque cas les deux jambes de ces triangles rectangles sont égales (deux fois plus grandes quun côté de le carré). Ainsi, la tangente (dans le sens de jambe opposée / jambe adjacente) de 45 degrés est 1.
Réponse
“ Quest-ce que tan (45)? ”
Si x est un nombre rationnel non nul alors tan x est irrationnel (prouvé par Lambert, 1761). Je ne sais pas si une preuve a été développée que tan x doit être transcendantale, bien quil y ait eu une telle preuve pour le sinus et le cosinus.)
Maintenant, 45 est un nombre rationnel différent de zéro, donc tan 45 doit être irrationnel.
La forme la plus simple dexpression exacte pour cette valeur est tan 45. Vous ne pouvez pas lexprimer plus simplement et faire représenter lexpression exactement tan 45.
Si vous êtes intéressé par une approximation numérique pour avoir une bonne idée de la grandeur et du signe du nombre, nous have: tan 45 = 1,619 775 190 543 861 549 982 796 517….
Pour ceux qui prétendent à tort dans leurs réponses que tan 45 = 1, vous avez violé le théorème auquel je faisais référence au début. Vous avez violé le théorème en faisant une telle déclaration, et comme les théorèmes exigent la preuve de leur exactitude, toute violation dun théorème signifie que quelque chose a été mal fait. Dans ce cas, lerreur suppose que tan 45 signifie tan 45 °, si vous voulez la tangente (du sinus, du cosinus, de la cotangente, de la sécante ou de la cosécante dun angle qui est dun certain nombre de degrés et que vous voulez utiliser ce nombre, alors il est obligatoire dutiliser le symbole ° ou de multiplier ce nombre par π / 180. Largument de la fonction tangente na rien à voir avec les angles – il peut sagir de nimporte quel nombre réel (sauf lorsque des singularités sont générées telles comme π / 2) avec une signification arbitraire. Or, les angles correspondent en fait à des nombres réels – ce nest pas vrai pour les longueurs, les durées de temps, etc., mais les angles ont cette caractéristique particulière. Les angles sont en fait des quantités sans dimension, ce qui signifie quils peuvent être exprimée simplement sous forme de nombres. Désormais, différents noms dunités existent pour les angles car il est souvent pratique de se référer facilement à différentes tailles dangles. Chaque nom dunité angulaire (demi-cercle, radian, degré, minute darc, seconde darc, etc.) correspond à un numérique valeur. Il savère que si vous avez un cercle de rayon 3 m et un arc de ce cercle dune longueur de 6 m, langle sous-tendu est (6 m) / (3 m) = 2 (en notant que les mètres du numérateur et du dénominateur sannulent pour donner juste un nombre ), mais 2 de quoi. La définition dun radian est langle tel que la longueur de larc et le rayon du cercle sont égaux, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Ainsi, rad = 1/1 = 1. Parce que rad = 1, nous peut écrire 2 rad = 2 × 1 = 2, donc lécriture explicite de rad dans lexpression de la valeur dun angle est facultative. Parfois, il est très utile déviter toute ambiguïté (comme distinguer une fréquence angulaire de 1 rad / s par rapport à une fréquence cyclique de 1 [cycle] / s = 1 Hz), et nous insisterons pour inclure le rad pour une communication claire même si elle est nominalement facultatif; dans dautres cas, il ny a pas dambiguïté et il est tout à fait correct de ne pas tenir compte du rad.
Maintenant, 180 ° = π rad, deux expressions différentes se référant à langle dun arc semi-circulaire. Si nous divisons par les côtés de léquation par 180, nous voyons: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, puisque rad = 1. En dautres termes, le degré est également juste un nombre, mais sa valeur nest pas 1; par conséquent, nous ne pouvons pas valablement écrire 45 ° = 45 et laisser tomber simplement cavalièrement le symbole °. Parce que ° représente le nombre π / 180, cela signifie 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, ce qui signifie que lorsque vous appliquez la signification de °, vous vous retrouvez avec un nombre différent – un nombre qui correspond au nombre de radians, vous convertissez donc implicitement des degrés en radians. Si vous écrivez seulement 45, cela équivaut à 45 × 1 = 45 rad, et ne peut pas signifier 45 °. Si vous ne comprenez pas les angles et leurs valeurs numériques de cette manière, nous ne pourrions pas faire des choses comme la dérivée de sin x par rapport à x est cos x ; lexpression devrait être un peu plus désordonnée – de manière indésirable plus désordonnée. Trop de contradictions et dautres choses étranges se produisent si vous essayez dagir comme si le degré dunité angulaire a la valeur numérique 1 afin que vous puissiez linclure ou léviter librement.
Malheureusement, les manuels de géométrie les plus couramment utilisés dans les écoles secondaires agissent tous paresseusement et apprennent aux élèves à être paresseux de manière inappropriée, sans se soucier décrire les unités de mesure quand ils sont diplômés. Cette erreur est généralement corrigée dans les manuels dalgèbre ou de trigonométrie plus avancés, où ° est toujours écrit lorsque les diplômes sont prévus, et lorsque les unités sont laissées de côté, les radians sont toujours destinés, ce qui correspond à la pratique standard des mathématiciens et des physiciens professionnels. Je ne sais pas pourquoi les manuels de géométrie insistent pour prendre un raccourci inacceptable contrairement à la pratique professionnelle standard, car les enseignants et les étudiants sont frustrés dans les cours ultérieurs lorsquils doivent enseigner et apprendre, respectivement, que le symbole ° est nécessaire.