Pourquoi [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math] est-il vrai?


Meilleure réponse

La définition de trace en tant que somme des entrées diagonales dune matrice est facile à apprendre et à comprendre. Cependant, il na pas (a priori) dinterprétation géométrique ou autre – cela ressemble juste à un outil de calcul. Lattaquer de ce point de vue signifie fondamentalement que vous êtes coincé avec des preuves informatiques de faits comme tr (AB) = tr (BA).

Ils ne sont pas « t mauvais , en soi. Ils sont faciles à comprendre, et certainement ce qui devrait être montré quand quelquun apprend initialement lalgèbre linéaire. Il y a une raison plus profonde pour laquelle tr (AB) = tr (BA), mais cest assez abstrait et nécessite en particulier le produit tensoriel pour comprendre.

Considérons lespace des opérateurs linéaires à partir dun vecteurs lespace V à lui-même. Si nous choisissons un ensemble particulier de coordonnées, ces opérateurs ressembleront à des matrices carrées. Cependant, nous viserons à éviter les coordonnées autant que possible.

On note V ^ * lespace dual de V, qui est lespace des fonctionnelles linéaires sur V — cest-à-dire des applications linéaires \ lambda tel que si on branche un vecteur v, \ lambda (v) est un scalaire.

Si on prend alors le produit tensoriel V ^ * \ otimes V, il est isomorphe à lespace des opérateurs linéaires V \ rightarrow V. Lisomorphisme fonctionne comme ceci: si w \ dans V, alors (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Nous pouvons également comprendre comment la composition fonctionne sous cet isomorphisme – -rappeler que la composition de cartes linéaires revient à multiplier les matrices correspondantes.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

doù

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Maintenant, comment fonctionne le trace entrer? Eh bien, il existe une carte naturelle de V ^ * \ otimes V au champ des scalaires qui fonctionne comme ceci: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Ce qui est étonnant, cest que si vous travaillez tout en coordonnées, cest la trace.

Cela montre que la trace, loin dêtre un outil de calcul abstrait, est en fait une carte fondamentale et naturelle en algèbre linéaire . En particulier, lanalyse ci-dessus donne automatiquement une preuve que tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Mais pourquoi lénoncé le plus fort tr (AB) = tr ( BA) vrai? Eh bien, calculons les deux.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Dautre part:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , donc AB correspond à lappariement \ lambda\_1, \ lambda\_2 et v\_1, v\_2 dans un sens, et BA correspond à leur association dans lautre sens, mais une fois que nous prenons la trace, ils sont appariés encore , et à ce moment-là, il ny a plus de différence.

Magnifique.

Réponse

La preuve de \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) est un calcul simple:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Je ne sais pas si cela répond à la partie «pourquoi» de la question, au sens de «Oui, Je vois que le calcul fonctionne, mais pourquoi ? « .

Il nest pas souvent possible dexpliquer « pourquoi » quelque chose est vrai. Ici, peut-être est-il utile dobserver que AB et BA partagent en fait beaucoup plus que la trace: ils ont le même polynôme caractéristique .

Une autre observation utile est que si A ou B sont non singuliers (inversibles) alors AB et BA sont des matrices similaires, simplement parce que

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Des matrices similaires ont clairement les mêmes valeurs propres, donc en particulier elles ont la même trace. Nous pouvons argumenter par continuité (sur des domaines où cela a du sens) pour conclure que la même chose sapplique même dans le cas singulier.

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