Meilleure réponse
En raison des définitions mêmes de \ sin x, \ cos x et \ tan x.
Dans un triangle rectangle avec un angle aigu x, nous avons défini les rapports trigonométriques comme suit:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {opposé}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {ci-contre }} {\ text {adjacent}}
De là, nous obtenons lacronyme SOH-CAH-TOA
Quoi quil en soit, si nous prenons lexpression pour \ tan x et divisons le numérateur et le dénominateur par \ text {hypotenuse} nous obtenons:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {opposé} / \ text {hypotenuse}} {\ text {adjacent} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Réponse
Commençons par une image (crédit: Triangle droit – de Wolfram MathWorld )
Nous allons nous concentrer sur celui de gauche, mais le les deux droites sont très importantes en trigonométrie.
Je vais utiliser le con vention que langle opposé au côté a est \ alpha et langle opposé au côté b est \ beta.
Rappel: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Maintenant, divisons sinus par cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Nous pouvons faire la même chose avec \ beta. En général, nous pouvons faire cette même astuce avec nimporte quel triangle rectangle, donc cela doit être une propriété intrinsèque des fonctions trigonométriques. Nous savons ce que sont le sinus et le cosinus à cause de la façon dont nous les avons définis, comme ces ratios particuliers.