Meilleure réponse
Uniquement lorsque θ = 0.
Il est géométriquement évident que pour tout θ compris entre 0 et π / 2, 2sinθ est la longueur de la corde dun arc de mesure radian 2θ dans un cercle de rayon 1. Et puisque la corde est plus courte que larc, nous devons avoir sinθ <θ pour tout tel θ. Et bien sûr, si θ> 1, alors sinθ . Enfin, sinθ <θ pour tout θ positif implique sinθ> θ pour tout θ négatif.
Même si θ est mesuré en degrés, sinθ ne peut pas égaler θ à moins que θ = 0, simplement parce que la mesure en radian dun arc de θ degrés est πθ / 180, ce qui est beaucoup plus petit que θ.
Réponse
Je pense que la meilleure question est, peut \ cos \ theta égal 2?
Vous savez probablement que ce nest pas possible si \ theta est langle dun triangle en géométrie plane, car lhypoténuse dun triangle rectangle est plus longue que la longueurs de ses pattes, et la patte adjacente ne peut pas être deux fois la longueur de lhypoténuse. De même si \ theta est nimporte quel nombre réel, car \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Ainsi, si \ theta \ in \ mathbb R, alors -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, donc \ cos \ theta ne peut pas être 2.
Cependant, nous affirmons que si z \ in \ mathbb C, cela est possible pour \ cos z = 2. En effet, la définition analytique complexe du cosinus est \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, et nous nous retrouvons donc avec une équation quadratique, qui espérons que la plupart dentre nous sont habitués à .
Nous souhaitons résoudre \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. En prenant w = e ^ {iz}, cela devient \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, ou de manière équivalente, w ^ 2-4w + 1 = 0. Nous appliquons ensuite la formule quadratique:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Puisque w = e ^ {iz}, nous pouvons alors prendre le log naturel, mais nous devons être attention : tout comme a ^ 2 = b ^ 2 nimplique pas a = b (cela implique seulement a = \ pm b), e ^ a = e ^ b nimplique pas a = b, cest seulement implique a = b + 2 \ pi ik pour certains k \ in \ mathbb Z. Par conséquent,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Ensuite, nous multiplions simplement par -i pour obtenir la valeur de z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Nous pouvons enfin réécrire notre solution, en notant que 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, et donc \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Le comportement de \ cos z en tant que fonction analytique complexe imite la fonction trigonométrique dans la direction réelle et le cosinus hyperbolique dans la direction imaginaire; en fait, vous savez peut-être que \ cos (iz) = \ cosh z et \ sin (iz) = i \ sinh z; et la combinaison de ces faits avec la formule de la somme des cosinus entraîne \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, avec x, y \ in \ mathbb R. réponse. Philip Lloyd a un excellent diagramme à ce sujet: la réponse de Philip Lloyd à Pourquoi « t cos theta est-il égal à 2?