Meilleure réponse
Un spineur est juste un vecteur qui se comporte différemment sous les rotations et certaines autres transformations .
Plutôt que de parler en général, je pense quil devient beaucoup plus facile de penser aux spinors quand on a un exemple mathématique concret avec lequel travailler. Cette réponse va faire exactement cela. Aucune connaissance mathématique autre que lalgèbre linéaire dintroduction nest supposée.
Une introduction plus technique peut être trouvée à partir de Lexcellent article de présentation de Steane sur le sujet, avec un traitement plus complet fourni ici: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Toutes les illustrations ci-dessous sont les siennes. Si je me trompe, nhésitez pas à commenter.
Que sont les spineurs
Jai dit plus haut que les spineurs étaient juste des vecteurs. Quest-ce que cela signifie? Cela signifie quils ont toutes les propriétés des vecteurs:
- ils peuvent être additionnés,
- multipliés par une constante (également appelée scalaire ),
- il existe un spineur « zéro »,
- et chaque spineur a un spineur inverse .
Vous pouvez aller et ajouter des exigences plus complexes:
- Deux spineurs peuvent avoir un produit interne bien défini, tout comme les espaces vectoriels.
- Un spineur peut avoir une longueur significative, tout comme dautres espaces vectoriels.
et ainsi de suite.
À propos de uniquement exigence pour un spineur qui en fait différent dun vecteur est quessayer de le faire pivoter ne vous donnera pas le résultat attendu – essayer de faire pivoter de 360 degrés ne vous donne pas le même spineur, mais tourner de 180 degrés. Plus généralement, la rotation dun angle \ theta nécessite dutiliser la matrice de rotation pour un angle \ theta / 2!
Dans cette optique, voici « un simple spineur qui peut être imaginé dans un espace euclidien tridimensionnel ordinaire et qui assume toutes les propriétés que jai énumérées ci-dessus. Il sagit du spineur le plus simple, et celui qui sera le plus familier aux physiciens.
Voici « une description mathématique parfaitement valide du spineur ci-dessus:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Dites bonjour à votre premier spineur!
Penser aux spineurs: un avertissement
Avant de continuer, remarque quelque chose: l’espace euclidien, comme je l’ai mentionné, est tridimensionnel – pourtant je n’ai besoin que de deux composants pour représenter mon spineur! Comment se peut-il? Est-ce que tous les vecteurs ne doivent pas avoir le même nombre de composants que la dimension de l’espace qu’ils occupent?
La contradiction peut être résolue en une phrase: les spineurs ne vivent pas dans lespace euclidien – ils peuvent correspondre à des objets dans lespace euclidien, et les choses qui leur sont faites peuvent être faites pour correspondre à des choses faites dans lespace euclidien, mais ce nest pas leur maison.
La vérité est que le spineur na pas deux composants comme je lai dit ci-dessus (à ce stade, vous êtes probablement en train de plisser les yeux sur lécran et de jurer dans votre souffle ). Un spineur na pas la même orientation quun vecteur dans lespace vectoriel dans lequel nous lavons placé – vous pouvez modéliser des objets dans un espace vectoriel ordinaire avec lui, comme je lai ici, mais un vrai spineur est défini par plus de paramètres que celui dun vecteur ordinaire dans un tel espace.
En termes simples , où lorientation dun vecteur ordinaire serait simplement définie par r, \ theta, \ phi, lorientation dun spineur est définie par r, \ theta, \ phi, \ alpha et son signe (supposé positif dans lexemple ci-dessus) – proprement dit, un espace vectoriel tridimensionnel peut être représenté par un quatre dimensions spinor (le signe, puisquil ne peut prendre que deux valeurs, peut également être considéré comme une dimension, mais serait plutôt inutile).
Vous pouvez écrire ce spinor soit comme un vecteur à quatre composantes , un pour chaque paramètre, multiplié par un signe – ou vous pouvez utiliser une astuce, comme Jai fait, et prétendre que le spineur a des composants complexes, ce qui nous permet décrire proprement le même spinor avec la représentation ci-dessus avec deux coordonnées.Cest pourquoi mon spineur semble avoir deux composantes, alors quil a réellement quatre paramètres et la dimension associée qui va avec, dans un espace vectoriel tridimensionnel: car nos spineurs existent dans leur propre espace complexe, pas dans lespace vectoriel tridimensionnel.
Donc, avant de continuer, souvenez-vous : les spineurs nont besoin que de la même dimension spatiale (cest-à-dire les paramètres nécessaires pour spécifier son orientation dans lespace) mais ce ne sont pas nécessairement les seuls paramètres qui la définissent. Dans ce cas, je traite les composants de mon spineur comme des valeurs complexes, cest pourquoi je peux lécrire de manière si concise dans un vecteur de colonne à deux composants – mais les spinors peuvent avoir et ont plus de paramètres, cest pourquoi ils sont assez délicats travailler avec.
Dans la vraie vie, je fortement recommanderais de me rappeler que les spinors ne « t vraiment vivent à nos côtés – ce sont, comme toutes les autres choses en physique, des abstractions mathématiques qui facilitent le travail. Tout ce avec quoi nous vraiment arrive aux objets tridimensionnels – mais nous pouvons utiliser des spinors pour les modéliser et rendre les mathématiques plus agréables, cest pourquoi nous le faisons.
Pour conduisez ce point à la maison, considérez le diagramme suivant:
Notez comment la présence de langle du drapeau complique des problèmes aussi simples que la rotation et ce qui constitue lorthogonalité. Cest un paramètre supplémentaire , et cela fait toute la différence.
En raison des problèmes présentés par cette étrange dimensionnalité du spineur, vous ne pouvez pas simplement utiliser la matrice de rotation ordinaire pour deux dimensions nous sommes les plus familiers avec, à savoir lomniprésente \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} pour tout angle. Ce serait correct pour un vecteur bidimensionnel, mais même les spineurs les plus simples sont pas , comme je « suis allé aux longueurs pour le souligner, bidimensionnel. Vous ne pouvez même pas utiliser les matrices tridimensionnelles régulières – vous pouvez certainement traduire l’effet de la rotation dans ces types, mais ce n’est pas correct en directement multipliez un spineur avec eux, car ils nappartiennent pas au même espace.
Comment faire pivoter les rotors
Une rotation autour de chaque axe est alors donnée par sa propre matrice de rotation spéciale, définie dans un espace complètement différent où vivent réellement des spineurs (plutôt quun espace euclidien). Soit « s les matrices de rotation par angle \ theta dans les directions x, y, z comme R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Puis ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Voici la partie amusante: avez-vous remarqué comment toutes ces matrices de rotation utilisent le demi-angle \ frac {\ theta} {2} pour tourner dangle \ theta?
Cest vrai! Ce phénomène de doublement dangle est la marque des spineurs: vous pouvez même prouver que multiplier un spineur par ces matrices demi-angulaires équivaut à faire tourner la partie spatiale par le plein angle.
Et cest « littéralement ça : tout ce dont vous besoin pour savoir sur les spineurs – quils sont des vecteurs vivant dans leur propre espace spécial et ont leurs propres matrices de rotation spéciales – couvert dans une seule réponse Quora. Jai limité mon attention aux spineurs les plus simples, bien sûr, mais lessentiel les fonctionnalités sont toutes présentées. Si vous souhaitez en savoir plus, veuillez consulter Steane (lien ci-dessus).
Pourquoi nous nous soucions des spineurs
Les spinors sont importants car il savère quils sont capables de décrire le spectre complet de comportement attendu des particules subatomiques. En particulier, les particules sont regroupées avec un moment angulaire intrinsèque, une propriété que nous appelons spin (voir la réponse de Brian Bi à La rotation des particules subatomiques implique-t-elle réellement un moment angulaire (cest-à-dire, la particule * tourne-t-elle réellement *)? pour une description complète).En modélisant les particules comme des spineurs plutôt que comme des vecteurs ordinaires, nous sommes en mesure de décrire avec succès linteraction que nous attendons de ce spin et de fournir une description complète du comportement des particules – en effet, les spineurs forment la base de léquation de Dirac, qui remplace léquation de Schrodinger pour fournir une équation donde compatible avec la relativité restreinte et constitue à son tour la base de la théorie quantique des champs (lextension de la mécanique quantique pour décrire les forces).
Réponse
Les spineurs sont des objets géométriques qui existent en vivant dans des espaces vectoriels réels (contrairement aux espaces vectoriels complexes ou quaternioniques).
Donc, pour prendre du recul, un vecteur est un objet qui existe dans lespace et est dit pointant dans une direction donnée. Cela signifie que si vous faites pivoter vos axes, le vecteur des composants change de la même manière.
Les vecteurs ont la propriété que si vous les faites pivoter de 360 », vous récupérez le même objet.
Il existe une multitude dobjets géométriques qui peuvent être construits à partir de vecteurs. Par exemple vous pouvez prendre deux vecteurs et les multiplier ensemble pour obtenir des tenseurs. En particulier, le tenseur du moment dinertie en est un. Les tenseurs ont la propriété que si vous les faites pivoter de 360 »/ N, vous récupérez le même objet et si vous les faire pivoter à 360 « vous revenez toujours au même objet.
Dans les espaces qui ont un groupe de symétrie orthogonal (ceux qui apparaissent naturellement dans des espaces vectoriels réels), il existe dautres types dobjets géométriques qui sont pas composé de vecteurs. Une façon de voir cela est que si vous les faites pivoter de 360 »vous » ne récupérez pas le même objet, au lieu de cela, vous vous retrouvez avec -1 fois lobjet dorigine – il pointe dans le « direction opposée.
Ce sont des objets étranges; cependant, ces objets sont ceux qui décrivent naturellement les objets spin 1/2 en physique.
Ces objets existent à cause de létrange propriété que le groupe de symétrie orthogonale est doublement connecté. Il y a une structure mathématique riche ici, mais ces objets sont moralement la racine carrée dun vecteur – cest-à-dire que si vous multipliez deux spineurs ensemble, vous obtenez un vecteur, comme lorsque vous multipliez deux vecteurs ensemble, vous obtenez un tenseur de deuxième rang comme le moment du tenseur dinertie.