Meilleure réponse
La plupart des séquences que vous rencontrez sont données par une formule pour le n- e terme: a\_n = f (n) où f est une fonction construite à partir dopérations arithmétiques, de puissances, de racines, dexponentiation, de logs et parfois dautres fonctions. La question est de savoir ce qui se passe lorsque n sapproche de linfini. Est-ce que \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) est un nombre fini, cest-à-dire que la séquence converge ou est-ce que quelque chose dautre se produit? Diverge-t-il en \ infty ou en – \ infty, oscille-t-il entre deux nombres différents, ou est-ce que tout le chaos se dissipe?
Si vous « nêtes pas intéressé par la certitude, mais satisfait dune réponse » s va avoir raison dans la plupart des situations, vous pouvez simplement calculer a\_ {1000} ou ailleurs dans la séquence. Pour la plupart des séquences que vous rencontrez, cela devrait répondre à votre question.
Mais ce nest pas votre question. Vous voulez vraiment savoir si la séquence converge ou non. Vous voulez une certitude, et si possible, vous voulez pour savoir vers quel nombre il converge. Malheureusement, les formes que peuvent prendre les séquences sont illimitées. Le mieux que vous puissiez faire est davoir plusieurs principes qui prendront en charge la plupart des cas. Voici quelques principes.
- Fonctions rationnelles , cest-à-dire quotients de polynômes, tels que a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Vous pouvez voir ce qui va se passer si vous divisez le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de n qui est présente. Vous pouvez tout résumer dans un théorème: Si le degré du numérateur est le même que le degré du dénominateur, alors la séquence converge vers le rapport des coefficients principaux (4/3 dans lexemple); si le dénominateur a un degré plus élevé, alors la séquence converge vers 0; si le numérateur a un haut r degré, alors la séquence diverge vers \ infty si les principaux coefficients ont le même signe, ou vers – \ infty sils ont des signes différents.
- Quotients des fonctions algébriques qui impliquent des racines telles que a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Divisez le numérateur et le dénominateur par une puissance fractionnaire de n. Dans cet exemple, \ sqrt n fera laffaire.
- Compositions , par exemple, a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. La fonction externe, sinus, est une fonction continue et les fonctions continues conservent des limites. Dans ce cas, nous avons \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, donc la séquence dorigine se rapproche de \ sin0 = 0. Mais considérez plutôt a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Ici, nous avons \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, et \ sin x oscille entre –1 et 1 comme x \ to \ infty, donc cette séquence na pas de limite.
- Ordres de croissance relatifs . Souvent, vous aurez a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} où f (n) \ to \ infty et g (n) \ to \ infty. Ce qui arrive au quotient dépend du fait que le le numérateur ou le dénominateur croît plus vite. Jutiliserai le symbole \ prec pour indiquer que lun pousse beaucoup plus lentement quun autre, cest-à-dire que f \ prec g signifie \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Il est utile d’en connaître quelques-uns, et vous le faites. Par exemple, n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Ce sont tous des exemples de polynômes, mais vous devriez connaître quelques autres fonctions \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- Règle de L « Hôpital » . Bien que les séquences soient discrètes, si la limite continue converge, ou si elle diverge vers plus ou moins linfini, alors oui fait la limite discrète. Ainsi, par exemple, si vous « avez a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} et que vous navez pas utilisé les ordres mentionnés ci-dessus, vous pouvez utiliser L » Hôpital » Comme dans la limite, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, le numérateur et le dénominateur approchent tous les deux de linfini, cette limite sera la même que limite où vous remplacez le numérateur et le dénominateur par leurs dérivés, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, et si ce nest toujours pas clair ce qui se passe, puisque cest aussi de sous la forme \ infty / \ infty, vous pouvez utiliser la règle ag de L « Hôpital » ain.
- La limite spéciale pour e ^ x. Parfois, cela est utilisé comme définition de la fonction exponentielle. Cela vaut la peine de le savoir et cela revient fréquemment dans des séquences utiles. (1 + x / n) ^ n \ to e ^ x
Je suis sûr quil y a plus de techniques. Noubliez pas de simplifier lutilisation de lalgèbre au fur et à mesure.
Réponse
Quelques tests pour tester la convergence des séquences.
1. Étant donné une séquence a\_n et si nous avons une fonction f (x) telle que f (n) = a\_n et \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L alors \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Si \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 alors \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. La séquence {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty converge si -1 \ ler \ le1.
4. Pour une séquence \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, alors a\_n est convergent avec la limite L.