Quel est le reste lorsque 2 ^ 200 est divisé par 18?


Meilleure réponse

Vous pouvez toujours essayer de calculer quelques exposants plus petits et trouver un motif répétitif pour les restes . Calculons le reste de 2 ^ n divisé par 18, en commençant par n = 1:

  • n = 1, 2 ^ 1 = 2, le reste vaut 2;
  • n = 2, 2 ^ 2 = 4, le reste est 4;
  • n = 3, 2 ^ 3 = 8, le reste est 8;
  • n = 4, 2 ^ 4 = 16 , le reste est 16;
  • n = 5, 2 ^ 5 = 32, le reste est 14;
  • n = 6, 2 ^ 6 = 64, le reste est 10;
  • n = 7, 2 ^ 7 = 128, le reste est 2;
  • n = 8, 2 ^ 8 = 256, le reste est 4;
  • \ cdots \ cdots

En fait, lorsque les exposants deviennent plus grands, vous navez pas besoin de calculer les puissances réelles de 2; au lieu de cela, vous multipliez simplement le reste précédent par 2, puis trouvez le nouveau reste à partir de ce résultat. Il est clair que les autres se répètent tous les 6 numéros. Donc, pour lexposant 200, nous trouvons simplement le reste lorsque 200 est divisé par 6, ce qui est 2. Par conséquent, le reste lorsque 2 ^ {200} est divisé par 18 est le même que le reste pour 2 ^ 2, qui est égal à 4.

Réponse

2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}

\ implique 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ {100}) \ equiv 1024 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}

\ implique (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}

\ text {Donc 4 est le reste quand} \, 2 ^ {200} \, \ text {est divisé par 18}

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