Quel sera le reste lorsque 17 ^ 200 sera divisé par 18?


Meilleure réponse

\ mathbf {\ text {Première solution.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ implique 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ implique 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Deuxième solution utilisant le théorème dEuler.}}

\ text { (17, 18) sont relativement premiers. Nous pouvons utiliser le théorème dEuler.}

\ text {Fonction totient dEuler.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ droite) \ gauche (1 – \ dfrac {1} {3} \ droite) = 18 \ gauche (\ dfrac {1} {2} \ droite) \ gauche (\ dfrac {2} {3} \ droite) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implique (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implique 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implique 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ implique 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ implique 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ donc \, \, \ text {1 est le reste lorsque} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {est divisé par 18}}

Réponse

Nous voulons le reste lorsque 17 ^ {200} est divisé par 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Le reste lorsque 17 ^ {200} est divisé par 18 est égal à 1.

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