Meilleure réponse
Pour être précis, vous ne pouvez pas prendre la boucle dun seul vecteur. Vous avez besoin dun champ vectoriel pour prendre la boucle, quelque chose comme ceci:
La boucle est un opérateur différentiel qui prend un champ vectoriel tridimensionnel et crache un autre champ vectoriel tridimensionnel.
Pour avoir une idée de ce que signifie la boucle, imaginez que nous avons un champ vectoriel qui représente la vitesse dun fluide. Autrement dit, le fluide remplit un espace, et le « champ de vitesse » nous dit quelle est la vitesse du fluide à chaque point de cet espace. Si nous prenons la boucle du champ de vitesse, nous obtenons un nouveau champ vectoriel qui nous indique, grosso modo, comment le fluide tourne à chaque point dans lespace. Plus précisément, la magnitude du vecteur curl vous indique la force de la rotation et la direction vous indique le sens de rotation selon la règle de la main droite .
En cartesi une coordonnée, la boucle peut être calculée comme le produit croisé de lopérateur del et du champ dorigine: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z} – \ frac {\ partial F\_z} {\ partial x}) \ hat {y} + (\ frac {\ partial F\_y} {\ partial x} – \ frac {\ partial F\_x} {\ partial y}) \ hat {z}
Lune des principales raisons pour lesquelles la boucle est importante est la décomposition de Helmholtz . Fondamentalement, tout ce dont vous avez besoin pour caractériser complètement un champ vectoriel est sa divergence et sa courbe. Ceci est utilisé à bon escient, par exemple, dans les équations de Maxwell, qui en spécifiant la courbure et la divergence des champs électrique et magnétique, vous permettent de résoudre les champs:
Réponse
Différentes personnes peuvent trouver différentes analogies / visualisations utiles, mais voici un ensemble possible de » significations physiques « .
Divergence: Imaginez un fluide, avec le champ vectoriel représentant la vitesse du fluide en chaque point de lespace. La divergence mesure le flux net de fluide hors de (cest-à-dire, divergeant ) dun point donné. Si du fluide sécoule à la place dans ce point, la divergence sera négative.
Un point ou une région avec une divergence positive est souvent appelé une » source « (de fluide, ou autre le champ décrit), alors quun point ou une région avec une divergence négative est un « puits ».
Curl: Revenons à notre fluide, avec le champ vectoriel représentant la vitesse du fluide. La boucle mesure le degré de rotation du fluide autour dun point donné, les tourbillons et les tornades étant des exemples extrêmes.
Imaginez un petit morceau de fluide, suffisamment petit pour que la boucle y soit plus ou moins constante. Vous êtes également rétréci très petit, et on vous dit que vous devez nager un tour autour du périmètre de ce morceau de fluide. Choisissez-vous de nager dans le sens horaire ou antihoraire? Si la courbe de la vitesse est nulle, alors cela na pas dimportance. Mais, si elle est différente de zéro, alors dans une direction, vous allez principalement avec le courant, et dans lautre sens vous « iriez principalement contre le courant, et donc votre choix de direction serait important. Le signe de la boucle vous dira quel est le bon choix.
Gradient: Bien quil soit parfaitement valable de prendre le gradient de un champ vectoriel, le résultat est un tenseur de rang 2 (comme une matrice), et il est donc plus difficile de lexpliquer en termes intuitifs (bien que peut-être que quelquun dautre le gère). Donc, à la place, je vais parler du gradient dun champ scalaire : précisément, le champ qui donne lélévation du sol au-dessus du niveau de la mer en un point donné sur la Terre (spécifié, par exemple, en termes de latitude et de longitude).
Dans cette situation, le gradient est en fait assez simple: il pointe « en montée » (dans la direction la plus raide), et la magnitude indique Par exemple, si la pente pointe vers le nord-est avec une magnitude de 0,2, la direction de la montée la plus raide est le nord-est et chaque mètre que vous parcourez vers le nord-est entraînera un gain daltitude de 0,2 mètre.
Pour le gradient dun champ vectoriel, vous pouvez le considérer comme le gradient de chaque composante de ce champ vectoriel individuellement, chacun étant un scalaire.