Meilleure réponse
Malheureusement, aucune méthode simple nexiste. Cependant, il existe des modèles pour ses chiffres de fin, bien que ce soit un sujet différent.
Voici la formule quand même: Sommes factorielles – de Wolfram MathWorld
=
où
est l intégrale exponentielle ,
est la partie réelle de z,
est la fonction gamma et i est le nombre imaginaire .
Réponse
Lastuce pour résoudre des problèmes de nombres effrayants comme celui-ci est t o trouver des modèles.
Premièrement, nous devons nous débarrasser de tous ces nombres laids impliqués dans les factorielles et les exposants géants. Puisque nous ne regardons que le dernier chiffre, tout chiffre au-delà de ce chiffre (chiffre des dizaines, chiffre des centaines, etc.) ne laffectera pas. (Cest parce que les valeurs de tous ces autres chiffres sont toutes des multiples de 10, mais puisque 10> 1 et que chaque multiple de 10 se termine par 0, cela naffecte pas le chiffre des unités.)
Notre meilleur pari est pour commencer par trouver le chiffre des unités de ce nombre sans lexposant (juste la base). Puisque les premières factorielles sont faciles à calculer, nous le faisons. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320… .Pourquoi se terminent-ils par zéro?
Cest à cause de la factorisation premier . Comme vous le savez, 10 = 5 \ cdot 2. Si la factorisation première de quelque chose a un 5 et un 2, alors cest un multiple de dix (par la propriété distributive). Étant donné que le dernier chiffre dun nombre en base dix (ce que nous utilisons) est fondamentalement la partie qui nest pas divisible par 10, par multiples de 10, il vaut 0.
Maintenant, nous regardons à nouveau les factorielles .
1 = 1
2 = 1 * 2
3 = 1 * 2 * 3
4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3
5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5
Depuis la factorielle de tout ce qui est supérieur à 5 sera un multiple de 5 !, vous savez quil aura un 2 et un 5 dans sa factorisation première, donc ils se terminent tous par 0. Hourra! Il ne nous reste plus quà regarder 1 !, 2 !, 3 !, et 4 !. Comme nous lavons déjà calculé, leur somme est 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, dont le dernier chiffre se termine par 3.
Maintenant, notre problème est 3 ^ 33. Nous essayons à nouveau de rechercher des modèles. Regardons quelques puissances de 3!
3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….
Hmmmm. Il cycles: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… .. (Remarque: je ne sais pas pourquoi cela se produit. Quelquun me le dit sil vous plaît!) Et chaque exposant qui est un multiple de 4 conduit à un se terminant par 1, comme vous pouvez le voir. 32 est un multiple de 4, donc 3 ^ 32 se termine par 1. Maintenant, nous regardons simplement le nombre suivant dans le cycle: 3! Par conséquent, il se termine par 3.