Meilleure réponse
Cest difficile den choisir une, donc je vous laisse le choix 🙂
- Identité dEuler
Léquation combine cinq des nombres les plus importants en mathématiques . Ce sont:
- 1 – la base de tous les autres nombres
- 0 – le concept de néant
- pi – le nombre qui définit un cercle
- e – le nombre qui sous-tend la croissance exponentielle
- i – la racine carrée « imaginaire » de -1
2. Léquation de champ dEinstein ( résumé des dix équations)
Le physicien John Wheeler la résumé succinctement: « Lespace-temps dit à la matière comment se déplacer ; la matière dit à lespace-temps comment se courber. «
Léquation dEinstein peut nous dire comment notre univers a changé au fil du temps et offre un aperçu du premier moment s de création. Il nest pas surprenant quil soit le favori de nombreux scientifiques.
3. Equation donde
Léquation donde décrit comment les ondes se propagent. Cela sapplique à toutes sortes dondes, des ondes deau aux sons et aux vibrations, en passant par la lumière et les ondes radio.
Cest un enfant daffiche pour lidée que les principes mathématiques se sont développés dans un domaine, ou pour le leur saké, peut avoir des applications vitales dans dautres domaines. Sa beauté vient de la combinaison de ces attributs: élégance, surprise, profondeur intellectuelle, utilité.
4. La carte logistique
La carte logistique est lun des exemples classiques de la théorie du chaos.
Elle peut être résumée comme suit: une grande complexité peut résulter de règles très simples.
Léquation peut être utilisée pour modéliser de nombreux processus naturels, par exemple comment une population danimaux grandit et diminue avec le temps.
Le comportement de la population savère extrêmement sensible à la valeur de r, de manière contre-intuitive. Si r est compris entre 0 et 1, la population mourra toujours, mais sil est compris entre 1 et 3, la population sapproche dune valeur fixe – et si elle est supérieure à 3,56995, la population devient extrêmement imprévisible.
sont décrits comme «chaotiques» par les mathématiciens et ils ne sont pas ce à quoi nous nous attendrions instinctivement. Mais ils émergent tous dune équation mathématiquement assez simple.
Cest tout, pour le moment.
Si vous pensez que jai raté une équation, dites-moi, je vous prie. Je vais lajouter dans la réponse 🙂
Réponse
Je vois beaucoup de problèmes de calcul de base impliquant PEMDAS en ce moment postés ici, mais ce sont des mathématiques élémentaires que je suis sûr 99\% des personnes qui pensent être vraiment douées en mathématiques peuvent avoir raison. Jai aussi remarqué léquation de Bob Hock, qui est très créative, mais je ne crois pas que ce soit si difficile à prouver.
Le problème que je poste ici est le problème AIME II 2006, qui semble très compliqué, mais se résume à quelque chose dassez simple grâce à une relation créative:
Étant donné que x, y et z sont des nombres réels qui satisfont
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
et que x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, où m et n sont des entiers positifs et n est non divisible par le carré de tout premier, trouve m + n
À première vue, nous résolvons un problème dalgèbre dans lequel nous devons trouver la somme. Une première pensée pourrait être de mettre au carré les équations pour se débarrasser des racines carrées dans une certaine mesure, mais une telle méthode est clairement compliquée.
Remarquant que nous navons pas besoin de résoudre pour chacun des x, y , z séparément, et nayant besoin que de leur somme, nous pourrions envisager dajouter les trois équations données, ce qui donne
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Nous avons ce que nous besoin dun côté, mais de lautre côté, rien ne semble sannuler, donc cela ne semble pas correct.
Une troisième idée serait de factoriser lexpression à lintérieur des racines carrées en utilisant la différence des carrés puisque les fractions données sont toutes des carrés parfaits. Cela donne
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
etc, mais même ainsi, il ny a pas de chemin clair manipuler les facteurs de quelque manière que ce soit. En bref, nous pouvons tenter de résoudre une variable à la fois, mais il n’ya pas de moyen clair de le faire.
Il s’avère que la meilleure solution à ce problème est de penser géométriquement. Rappelons le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle avec les jambes a, b et lhypoténuse c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Nous pouvons manipuler ceci pour obtenir a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Cest exactement la forme des termes sur la RHS des équations.
Si nous dessinons un triangle en conséquence avec cette réalisation, à partir de la première équation nous pouvons former deux triangles rectangles de hauteur \ frac {1} {4}, et dhypoténuse y et z. x est égal à la somme de la troisième longueur de chaque triangle rectangle. Si nous laissons la hauteur des triangles rectangles être le même segment de ligne de longueur \ frac {1} {4}, nous formons un triangle plus grand avec des côtés de longueur x, y, z et hauteur de \ frac {1} {4} du côté x.
En continuant avec la même idée pour la deuxième et la troisième équation, nous obtenons que la hauteur du triangle sur les côtés y et z est \ frac {1} {5} et \ frac {1} {6}, respectivement. À partir de léquation daire dun triangle, nous pouvons obtenir
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {et} y = \ frac {5} {6} z
De plus, à partir de la formule de Heron , nous obtenons
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
En remplaçant en z les autres formules daire, cela se simplifie en
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Ainsi,
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
donc m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}