Meilleure réponse
Il y a déjà eu des réponses à cette question, mais je ne parviens pas à en trouver. Jessaierai de résoudre ce problème «à partir de zéro» dans cette réponse.
Il existe plusieurs façons de résoudre ce problème, commençons par une manière évidente: évaluez 30! puis utilisez lalgorithme habituel: divisez par deux jusquà ce quil y ait un reste différent de zéro. Bien que cela mènera finalement à une réponse, 30! comporte 33 chiffres, donc cela prendrait un certain temps.
Daccord, essayons autre chose. Quelle est la puissance de deux dans 6 \ cdot 8? Eh bien, cest la puissance de deux sur 6 plus la puissance de deux sur 8, soit 1 + 3 = 4. Daccord, nous pouvons lutiliser pour calculer notre réponse plus rapidement. Depuis 30! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots 28 \ cdot 29 \ cdot 30, nous pouvons obtenir notre réponse en ajoutant les réponses pour les nombres 1 à 30.
Cela fonctionnerait assez rapidement, nous pouvons obtenir le résultat en moins dune minute. Mais pouvons-nous faire mieux? Bien sûr on peut! Une approche encore plus rapide améliorerait le dernier en remarquant ce qui suit: La moitié des nombres (15) que nous multiplions contient au moins une puissance de 2. Un quart des nombres (arrondi à 7) en contient au moins deux. Un huitième (3) en contient trois. Un seizième (1) en contient quatre.
En dautres termes, la moitié des nombres contient au moins une puissance de deux. La moitié de ceux-ci contiennent une puissance supplémentaire de deux, la moitié de ceux-ci en contiennent des supplémentaires, etc. peut généraliser cela à des problèmes similaires, où nous changeons le premier (dans ce problème, 2) en un autre premier, ou si nous demandions un facteur plus grand, comme 100 !. Par exemple, la puissance de cinq sur 100! serait \ frac {100} {5} + \ frac {100} {25} = 20 + 4 = 24.
Réponse
Nous devons affiner la puissance de 2
Alors maintenant, nous allons faire
= 30/2 + 30/2 ^ 2 + 30/2 ^ 3 + 30/2 ^ 4
= 15 + 7 + 3 + 1
= 26
Donc, 26 est la puissance de 2