Meilleure réponse
Comme on vous la dit dans dautres réponses, √243 vaut 9√3.
3 ^ 5 = 3 ^ 4 • 3 = (3 ^ 2) ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • (√3) ^ 2 = (9√3) ^ 2
donc le nombre au carré égal à 243 est le nombre irrationnel que jaime écrire 9√3. Cest ce que jappelle la «simplifiée» ou la «forme la plus simple».
Si je veux simplifier une racine carrée (ou une racine cubique, ou…), je commence par trouver la «factorisation première» du nombre sous la racine.
Pour la factorisation dun nombre premier, je commence à diviser en série par les nombres premiers les diviseurs dans lordre jusquà ce que le résultat final soit 1. Evidemment, le nombre est le produit de tous les nombres I divisé par.
Quand je regarde 243, je me rends compte que cest un nombre impair.
Comme il nest pas pair, je ne le diviserai ni par le plus petit nombre premier: 2 .
Le plus petit nombre premier suivant est 3, et je me rends compte que 243 est divisible par 3 (et aussi par 9) car la somme de ses chiffres est un multiple de 3 et 9.
243 ÷ 3 = 81, donc 243 = 81 * 3.
À ce stade, je reconnais 81 comme 9 • 9 ou comme 3 • 3 • 3 • 3 = 3 ^ 4, et je sais que 243 = 81 • 3 = 3 ^ 4 • 3 = 3 ^ 5.
Si jen avais besoin pour un nombre autre que 243, ou si je devais «montrer mon travail» à quelquun qui insiste pour que je le fasse ,
Je continuerais à diviser par 3 pendant que Je pourrais obtenir un résultat entier, puis continuer à diviser par nimporte quel nombre premier qui fonctionnait, en essayant 3, 5, 7, 11, 13, 19, jusquà ce que jarrive à un nombre premier qui, une fois au carré, était supérieur au nombre que jessaie diviser. Par exemple, si depuis le début, ou après quelques divisions, je dois trouver quelque chose qui divise 101, après avoir essayé 2, 3, 5 et 7, et constaté quaucun des deux ne divise 101, je verrais que 101 au carré est 121 Comme ce carré est supérieur à 101, je nessaierais pas de diviser par 11, 13 ou 19, je conclurais que le seul nombre premier qui le divise est 101, divise 101 par 101, et cest fait.
Réponse
La racine carrée de 243 est le nombre non négatif qui, une fois au carré, donne 243. Cest ce que cest, daprès la définition de la racine carrée. (Symboliquement, on dit que \ sqrt {a} est le nombre non négatif x satisfaisant x ^ 2 = a.)
Il est un peu plus grand que 15 (dont le carré vaut 225) et un peu plus petit que 16 (dont le carré est 256).
La factorisation de 243, comme cela a été fait dans la réponse de Bijay Shah à cette question, nous donne que 243 = 3 ^ 5, donc \ sqrt {243} = 3 ^ \ frac52 = 9 \ sqrt {3}. Puisque \ sqrt {3} \ approx1.7, ceci est cohérent avec ce que nous avons vu ci-dessus.
Puisque 243 nest même pas dans les puissances de tous ses facteurs premiers, sa racine carrée est irrationnelle, et il n’existe donc pas de représentation décimale finie de la racine carrée. Cela permet de savoir qu’un nombre n’est pas sa représentation décimale; les représentations de nombres ne sont généralement pas uniques.