Meilleure réponse
Nous pouvons aborder cela géométriquement. Il existe trois solutions, elles sont: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° et 1 / \_240 ° sous forme polaire. Nous devons considérer le domaine des nombres complexes. (pour le moment, je ne peux pas fournir de schémas, donc je mexcuse). Utiliser un stylo et du papier pour lire cette réponse serait très utile.
Remarque: «/ \_» représente «langle». Langle est mesuré dans le sens anti-horaire par rapport à laxe réel positif (axe x positif). De plus, 0 ° équivaut à 360 °, 720 ° et ainsi de suite. Tout angle θ est le même que θ + 360 °.
Géométriquement, si nous représentons 1 sur un plan complexe comme 1 + 0i (1,0); ceci est égal à 1 / \_ 0 ° ou 1 / \_360 ° sous forme polaire. Nous pourrions dessiner un cercle unitaire avec le centre à lorigine 0,0. En divisant le cercle unitaire de 360 ° (ou 2π radians) en 3 parties égales, nous obtenons les trois racines requises.
La première racine à 1 / \_0 ° ou / \_360 °. [Si je fais 3 tours complets (360 °) à partir de (1,0) dans le sens anti-horaire (multiplier par lui-même trois fois ou en cubant), jarrive au même point: 1 / \_0 °. A noter également: si je fais 3 «pas de tours» (0 °). Jarrive aussi au même point!]
Pour les deux autres racines:
- A partir de 1 / \_0 °, si je fais 1/3 (un tiers ou 120 °) de révolution dans le sens anti-horaire (un multiplié par 1 / \_120 °), jarrive à 1 / \_120 ° qui est la deuxième racine. Si je fais encore deux 1/3 de tours à partir de là, jarrive à 1 / \_360 ° soit 1 / \_ 0 ° à nouveau. (jai donc fait trois tours de 1/3 ou 120 °, ou jai fait du cubage). Donc, le cube de 1 / \_120 ° vaut aussi 1.
- A partir de 1 / \_0 °, si je fais 2/3 (240 °) de révolution, jarrive à 1 / \_240 ° qui est le troisième racine, si je fais encore un 2/3 de tour jarrive à 1 / \_480 ° cest à dire à 1 / \_120 ° et avec encore un 2/3 de révolution, jarrive à 1 / \_720 ° cest à dire retour à 1 / \_0 °. jai donc fait trois tours de 2/3 ou 240 °, ou jai fait du cubage). Donc le cube de 1 / \_240 ° vaut aussi 1.
Les racines sont 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. séparés de 120 ° également sur le cercle unitaire.
Vous pouvez convertir les valeurs en forme rectangulaire et voir que les réponses sont les mêmes que celles données par dautres.
En général pour obtenir le nième racine, nous divisons le cercle unitaire en n parties égales, ou des angles équidistants de 360 / n °, et les racines se trouvent sur la limite extérieure du cercle. Ainsi, puisque 360/5 = 72 °, les 5èmes racines de lunité sont: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Réponse
Laissez z tel z ^ 3 = 1
létape clé, ne prenez pas la racine cubique des deux côtés, sinon vous manquerez 2 racines. Réécrivez plutôt léquation comme suit:
z ^ 3–1 = 0
facteur côté gauche
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 a 2 racines complexes:
z = -0,5 + i * 0.5sqrt (3), z = -0.5-i * 0.5sqrt (3)