Meilleure réponse
Comme beaucoup ont déjà répondu correctement, le cosinus de linfini na aucune valeur. Mais c’est pire. Cest aussi mauvais que possible.
Fonctions complexes
Les fonctions trigonométriques, y compris le cosinus, sont généralement considérées comme des fonctions qui prennent des nombres réels comme arguments, mais elles peuvent être étendues pour devenir des fonctions complexes. Vous pouvez le faire pour le cosinus en utilisant cette définition de série de puissance
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Cela rend le cosinus défini sur tout le plan complexe \ mathbf C.
Par étendant des fonctions à des arguments complexes, vous pouvez les comprendre dune manière que vous ne pouvez pas lorsque seuls des arguments réels sont utilisés. Cest la force de lanalyse complexe.
Les nombres complexes étendus \ overline {\ mathbf C}
Considérez le fonction beaucoup plus simple f (z) = 1 / z. Il est défini pour tous les nombres complexes sauf z = 0. Il semble avoir une valeur infinie à z = 0, et il existe un moyen de formaliser ce concept. Prolongez les nombres complexes dun élément, noté \ infty pour obtenir ce que lon appelle parfois le plan complexe fermé ou la sphère de Riemann, \ overline {\ mathbf C}. Avec cela, vous pouvez définir 1/0 = \ infty et 1 / \ infty = 0 afin que cette fonction f (z) = 1 / z soit définie sur tout \ overline {\ mathbf C}. En fait, cela donne une bijection \ overline {\ mathbf C} \ to \ overline {\ mathbf C}.
Que se passe-t-il lorsque vous essayez cela avec la fonction tangente \ tan z? Il se passe de belles choses. Alors que pour les nombres réels, \ tan \ pi / 2 nest pas défini, pour \ overline {\ mathbf C} il est défini, et en fait \ tan \ pi / 2 = \ infty. La singularité pour \ tan z en z = \ pi / 2 est comme la singularité pour 1 / z en z = 0.
Ces deux fonctions, 1 / z et \ tan z, ont pôles , cest-à-dire quils prennent la valeur \ infty. La fonction 1 / z a un pôle à z = 0. La fonction \ tan z a une infinité de pôles, un pour chaque valeur de z égale à \ pi / 2 plus un multiple entier de \ pi.
Cosinus of \ infty
Il est temps de revenir à \ cos \ infty.
Considérons la fonction f (z) = \ cos (1 / z). Demander le cosinus de \ infty équivaut à demander f (0), puisque dans \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. Contrairement aux pôles des fonctions 1 / z et \ tan z mentionnés ci-dessus, cette fonction a ce quon appelle une singularité essentielle . Arbitrairement proche de z = 0, la fonction f (z) = \ cos (1 / z) prend tous les nombres complexes une infinité de fois. Cela signifie que \ cos z a une singularité essentielle en z = \ infty. Cest aussi grave que possible.
Réponse
Ce nest égal à rien. Cos (infini) est indéterminé car sinus, cosinus et tangente, ainsi que ses inverses (sécante, cosécante et cotangente), sont dérivés du cercle unitaire.
cosinus est laxe des x, et sinus est laxe y. Cela crée un triangle rectangle. Le cercle unitaire est centré à lorigine. Et ce triangle rectangle qui est «créé», la longueur des jambes est lendroit où elles sont dérivées.
Pour des choses comme 390 degrés, il se déplace plus dune fois, et langle est évalué comme sil était seulement est passé de 0 degré à lendroit où il sest terminé, ce qui est inférieur à 360. Il sagit essentiellement dun module.
Lexpression qui peut représenter cela est n mod 360 (ou pour linformatique, n\% 360), où n est langle.
Donc, pour le mod infini 360, je ne peux pas avoir de réponse car linfini augmente constamment. donc ça pourrait techniquement être nimporte quoi. L’infini n’est pas un nombre, c’est un concept. Le concept de navoir pas de fin. Donc, utiliser linfini comme nombre, cest simplement avoir une valeur qui est, dans un sens, toujours croissante. Cela simplifie un peu les choses, car il n’est pas vraiment en hausse, c’est plutôt comme supposer qu’il y a une fin alors qu’il n’y en a pas, la liste des nombres n’a pas de fin. Sa valeur est illimitée. Cest pourquoi nous utilisons des limites lorsquil sagit de linfini. Bien que l’infini en tant que nombre utilise essentiellement des limites, nous ne pouvons pas dire que 1 / infini est zéro car la valeur de l’infini ne fait qu’augmenter constamment, cela ne demande pas vers quoi il converge. Bien quil converge vers zéro, il ne sera jamais nul. Le plus proche jamais de zéro est 1 – 0,999…., Ce qui, même si 0,999… a été dit égal à 1, ce n’est pas le cas. Logiquement, ce n’est pas et ce ne peut pas être le cas. Si nous acceptons cela, alors nous pouvons tout aussi facilement dire que 1 = 2, et tout n est égal à tout m (n = m).
Revenez à la question dorigine, si vous regardez un graphique pour cos (x), vous verrez quil oscille de haut en bas continuellement de 1 à -1. Ainsi, comme il va à linfini, il ne convergera jamais, et cos (infini) basculera toujours entre 1 et -1. Choisir une valeur parmi celles-ci ne sera pas linfini, car sa valeur augmente toujours.
Donc, en conclusion, cos (infini) est indéterminé.