Meilleure réponse
En termes simples, linvariant est une propriété qui ne change pas même après une transformation ou une opération mathématique. Un très bon exemple est donné dans Wikipedia-
Prenons le cas de la loi gravitationnelle de Newton. La force de gravité entre deux corps sera la même partout dans lunivers. La force de gravité entre ces deux corps sera la même aujourdhui quelle létait il y a mille ans. Quelle que soit la direction dans laquelle vous déplacez ces corps, la force est la même. Voici un exemple dinvariant.
Les invariants de contrainte sont les propriétés dune matrice de contraintes qui ne sont pas affectées par la transformation. Létat de stress peut être représenté en termes de matrice. La composante de contrainte hydrostatique de cette matrice serait égale à la moyenne des termes diagonaux de la matrice (contraintes principales). La sommation de ces termes diagonaux est ce quon appelle le premier invariant (également appelé trace de la matrice).
Ainsi, nous pouvons diviser un état de la matrice comme une somme de lhydrostatique et du déviatorique stress-
Pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres, nous utilisons léquation | A – Lamda I | * V = 0. De même, pour un état de contrainte, nous utilisons léquation suivante qui est similaire à la forme ci-dessus-
nj = vecteur propre, Sigma = valeur propre, delta ij = La matrice didentité également appelée delta de Kronecker. Cette matrice didentité = 1 à la position des diagonales où i = j et égal à 0 dans tous les autres endroits.
Maintenant, nous pouvons établir la forme suivante
Si vous vous souvenez bien, cest la composante déviatorique de la matrice de contraintes. À partir de léquation caractéristique ci-dessous, nous pouvons voir que les invariants sont les coefficients des termes de contrainte dans léquation caractéristique.
Où, I1, I2 et I3 sont les invariants de la matrice de contraintes.
a. I1 est la trace de la matrice et est la somme des termes diagonaux. Premier invariant.
b. I2 est la somme des mineurs de la matrice. Deuxième invariant.
c. I3 = Valeur du déterminant de la matrice. Troisième invariant.
T Ce sont tous des invariants car malgré la transformation effectuée sur la matrice, ces valeurs resteront les mêmes.
Dans les étapes ci-dessus, nous avons établi la matrice déviatorique et nous avons compris que cétait J1 et que J1 était égal à 0. Lorsque J1 = 0, alors la somme des termes diagonaux = 0. Donc, la moyenne de ceci (également appelée contrainte hydrostatique = 0. Ainsi, la contrainte hydrostatique de la composante déviatorique est égale à 0, ce qui signifie quil sagit dun état de PURE SHEAR.
Contrainte déviatorique et invariants
Réponse
La contrainte est généralement représentée comme un tenseur symétrique du second ordre, qui peut être considéré comme une matrice 3 * 3. Maintenant, tout tenseur a quelque chose appelé les invariants qui ne changent pas avec un changement de base. Il existe trois invariants principaux pour un tenseur de second ordre (contrainte, déformation, moment d’inertie). Ceux-ci restent les mêmes même si le b asis est changé. Pour comprendre ce que nous entendons par changement de base, pensez à un problème de résistance élémentaire du matériau, où nous essayons de trouver les contraintes normales et de cisaillement résultantes sur un plan incliné vers un ensemble donné daxes de coordonnées (notre base). Nous pouvons faire tout le cercle de Mohr et trouver les composantes de contrainte le long de la nouvelle base (nouveaux axes de coordonnées qui sont le long et perpendiculaires à linclinaison). Donc, si vous considérez le tenseur des contraintes auparavant et maintenant, il a changé élément par élément (les deux sont cependant symétriques) mais les quantités suivantes restent les mêmes
- Trace des matrices
- Trace du cofacteur des matrices
- Déterminant des matrices.
Ce sont trois «invariants» principaux.