Meilleure réponse
Il y a 2 réponses que nous pouvons trouver ici pour cette question.
- -1/12
- Infinity
Il est clair que \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n diverge. Mais alors pourquoi certaines personnes répondent-elles -1/12? Parce que les deux sont corrects.
Cest lun des exemples les plus simples dun concept crucial dans la compréhension des théories physiques, la régularisation. Le nombre -1/12, apparemment absurde, tient une interprétation physique dans la soi-disant énergie de Casimir.
Souvent, lorsque nous essayons de calculer des quantités physiques dans les théories quantiques, nous obtenons linfini. À ce stade, nous pouvons simplement jeter la réponse, mais cela ne nous mènerait nulle part. Alternativement, nous pouvons essayer de lui donner un sens. Pour ce faire, nous essayons dextraire une réponse finie de linfini. Ce processus sappelle la régularisation. Il pourrait y avoir de nombreuses façons de régulariser systématiquement une série divergente (ou intégrale), mais le point important est que toutes ces méthodes donneraient le même résultat fini. En particulier, la somme ci-dessus nous donnerait toujours -1/12. Cela en soi suggère que -1/12 nest pas totalement absurde.
La discussion suivante est principalement dérivée de la section 4.1 de Birrel et Davies – Champs quantiques dans lespace courbe. Je vais présenter lessentiel de la discussion.
Supposons que nous considérions un champ scalaire sans masse en 2 dimensions (une direction temporelle et un espace). Un champ scalaire sans masse ressemble beaucoup à un champ électromagnétique, mais beaucoup plus simple. Aussi, restreignons le champ scalaire sur un cercle de circonférence L. Maintenant, nous avons défini un système quantique et nous pouvons essayer de calculer diverses quantités, y compris lénergie minimale / fondamentale de ce système. Lénergie de létat fondamental savère être E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Nous pouvons maintenant régulariser cette intégrale et obtenir E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Le point important est que cest exactement ce que nous obtiendrons si nous essayons de calculer la différence entre lénergie de létat fondamental de ce système et un autre système similaire où le champ scalaire est restreint sur une ligne de longueur infinie (qui prend essentiellement la circonférence de le cercle pour être infini). Clairement, cette énergie régularisée est une quantité physique et en fait peut être mesurée en laboratoire.
Nous concluons que lénoncé \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 nest pas nul.
Modifier:
Voici une façon de régulariser la somme.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
La limite ci-dessus diverge, comme prévu , mais peut sécrire comme suit
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Cest ainsi que nous récupérons une partie finie régularisée à partir de la sommation divergente. La manière de régulariser la somme nest en aucun cas unique, mais la partie finie de la somme est toujours -1/12.
Réponse
Quentend-on par «est» ou « égalité »? Cest la question qui sous-tend la confusion sur la somme de tous les nombres naturels.
Sommes finies
Nous ne « Je nai pas de problème avec les sommes finies:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
est parfaitement bien défini pour toute séquence de a\_i \ in \ mathbb R. Grâce à la commutativité et lassociativité de laddition, elle ne dépend même pas de lordre des a\_i: vous pouvez mélanger la séquence dans nimporte quelle permutation sans affecter le résultat.
Série Infinie
Quand nous arrivons à des séquences infinies, (a\_i), cependant, que signifie même la somme infinie? Quest-ce que ?
Le plus simple, le plus sûr et le par défaut la signification est une limite de sommes finies. Cest la définition dune somme infinie est
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Quand cette série converge absolument , tout va bien. Vous pouvez:
- vous fier au résultat;
- mélanger lordre des termes;
- ajouter ou soustraire deux de ces séries; et même
- changer lordre de deux sommations imbriquées.
Mais si la série est divergente ou seulement conditionnellement convergente la valeur:
- peut ne pas exister;
- peut dépendre de lordre; ou
- peut nécessiter des «méthodes sophistiquées» pour définir
et vous ne pouvez ni manipuler les termes de la séquence ni ajouter / soustraire deux de ces séquences.
Tel est le cas avec la somme des nombres naturels où
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Ceci diverge clairement vers + \ infty comme n \ vers \ infty, donc la valeur standard par défaut nexiste pas. Et cest aussi loin que la plupart des gens devraient aller.
Méthodes sophistiquées
Si vous ne le faites pas complètement, même intimement, comprenez la signification précise de tout ce qui précède, vous ne devriez certainement pas passer aux «méthodes sophistiquées». De même, vous devriez traiter toute personne qui manipule des séquences non absolument convergentes comme si elles se divisaient par zéro: les résultats sont tout aussi fiables.
Il existe une série infinie parfaitement respectable appelée Série Dirichlet :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Si les (a\_n) sont bornés, cette série converge absolument pour tout s \ in \ mathbb C dont la partie Réelle est strictement supérieure à un, \ Re (s)> 1. Pour \ Re (s) \ leq1, nous sommes sur un terrain moins solide…
Continuation analytique
Puisque f ( s) est une fonction analytique définie sur le demi-plan ouvert avec \ Re (s)> 1 elle a une continuation analytique au reste du plan complexe. La suite lorsque tous les a\_n sont un, f\_1 (s), est la Fonction Riemann Zeta :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
où \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x est la fonction Gamma , une extension analytique de la fonction factorielle.
Pour \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
Pour s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb ne converge pas pourrait affirmer
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
mais notez que vous êtes en train de jouer avec ce que signifie «égalité» et ce quest une somme.
Cest très bien, mais si vous êtes arrivé jusque-là, vous aurez remarqué à quel point vous devez savoir comprendre ce que vous faites. Beaucoup plus que ce que vous obtenez généralement sur une vidéo Numberphile…