Meilleure réponse
« La somme de tous les nombres réels » nest pas définie en mathématiques conventionnelles, et je ne suis pas sûr quil pourrait être défini sans poser de problèmes sérieux.
Le premier problème est que lensemble de tous les nombres réels est un ensemble indénombrable, cest-à-dire quil ne peut pas être mis en relation un-à-un avec le comptage nombres (ie 1, 2, 3, 4, etc.) Il ny a pas de définition conventionnelle de la somme des membres dun ensemble indénombrable, mais il y a de la somme des membres de certains ensembles dénombrables.
Supposons que vous ayez un ensemble dénombrable {x1, x2, x3,…. xn,…}. Vous pouvez définir une somme partielle Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, cest-à-dire la somme des n premiers termes. Pour vous assurer que rien ne se passe mal si vous réorganisez lensemble, vous pouvez définir une somme partielle positive Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Si la limite (comme n va vers linifinité) de la série Pn existe, alors la limite de la série Sn existe également (mais nest pas la même que la limite de Pn à moins que tous les xn ne soient non négatifs). Cela signifie que vous pouvez dire que la somme de tous les nombres de notre ensemble dénombrable est la limite de la série Sn.
Donc, si lensemble est {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, vous avez une série joliment convergente, et la somme des membres de lensemble est 1. Cependant, si vous avez tous les entiers (positif et négatif), vous avez un ensemble dénombrable {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, mais les sommes partielles ne convergent pas – elles sont 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Ce manque de convergence des entiers se produit malgré le fait que chaque entier positif n a un entier négatif correspondant, donc on pourrait penser quils sannulent. Cependant, ils ne sannulent pas à chaque somme partielle alternative, et ils ne sannuleraient pas si vous preniez lensemble dans un ordre différent, par exemple. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Les nombres réels sont pires, car il ny a pas de définition dune somme de lensemble, étant donné que cest indénombrables, et même sil y en avait un, changer lordre dans lequel vous les avez pris donnerait un résultat différent, même si pour chaque nombre réel positif il y a un nombre réel négatif correspondant.
Réponse
Résolvons-le en utilisant la théorie des groupes.
Soit G (\ mathbb {R}, +) un groupe.
Il a une identité additive ie 0 et linverse additif \ forall a \ in G, est -a.
En ajoutant maintenant tous les éléments de ce groupe, nous avons paires dun nombre et cest inverse qui sannulent.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, Nous pouvons écrire ceci à cause de la propriété commutative et associative de ce groupe spécial.
Nous avons divisé lensemble \ mathbb {R} en \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} et élément didentité.
Écrivons lexpression ci-dessus comme
= X + Y + 0
Comme 0 est lidentité donc,
lexpression ci-dessus donne
= X + Y
Maintenant, \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implique X = Y ^ {- 1}
\ implique Y = -X
\ implique X + Y = élément didentité de G = 0.
Par conséquent, la somme de tous les nombres réels est zéro.