Meilleure réponse
Supposons quil y ait un cercle avec cinq points équidistants A, B, C, D et E sur son périmètre tel que larc ABCDEA complète le cercle.
Donc, il y a cinq arcs égaux (AB, BC, CD, DE et EA), chacun sous-tend un angle {(360⁰) / 5) = 72⁰ au centre.
Maintenant, langle étoile au sommet A nest rien dautre que langle sous-tendu par larc CD au point A; qui est {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Donc, somme de cinq angles «en étoile» à cinq sommets = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Réponse
Ce problème dépend de la façon dont vous définissez une « étoile ». Mais de toute façon, commençons par des cas simples, alors la formule générale devrait se montrer.
Sil y a 3 points, nous ne pouvons avoir quun triangle équilatéral, donc langle est de 60 degrés. (Jinclus ceci comme étoile aussi, définissez mon étoile plus tard).
Sil y a 4 points, nous ne pouvons avoir quun carré, donc langle est de 90 degrés.
Sil y a 5 points , nous pouvons avoir un pentagone, où langle est de 108 degrés; ou nous pouvons avoir une «étoile» dans la question, où langle est de 36 degrés.
En général pour n points, nous pouvons diviser un cercle en n sections darc égales. Pour les cas à 3 et 4 points, la seule façon de dessiner une « boucle fermée à symétrie parfaite » (la définition de létoile) est de relier des points à leurs points adjacents, dans ce cas disons leurs pas (nombre de sections darc de croisement dans une section de ligne) k sont 1. Deux lignes continues formeront un angle, donc la formule de ce type « détoile » (triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, etc.) est 180 * (n-2 * 1) / n degrés.
En 3, 4 points ca Ainsi, il ny a pas dautre solution que le pas de 1. Dans le cas de 5 points, outre le pas de 1, un pas de 2 formera létoile de 36 degrés. Ainsi, lorsque le pas k est premier relatif aux points n, on peut avoir la formule dangle
180 * (n-2 * k) / n degrés.
Donc en 6 points , la seule solution est k = 1, donc langle est de 120 degrés.
Dans le cas de 7 points, k pourrait être 1, 2 ou 3, lorsque k = 1 langle est de 900/7 degrés; lorsque k = 2, langle est de 540/7 degrés; quand k = 3 langle est de 180/7 degrés.
Dans le cas de 8 points, k pourrait être 1, ou 3, quand k = 1 langle est de 135 degrés; lorsque k = 3, langle est de 45 degrés.