Quelle est la somme des racines carrées du premier nombre naturel n?

Meilleure réponse

Je pense que la valeur de cette somme (qui est notée) \; \; S \; \; est approximativement \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Il peut être justifié comme suit:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; donne laire sous la courbe \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; Axe X et les ordonnées en \; \; x \; = \; 1 \; \; et \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

La somme requise \; \; S (n) \; \; peut être interprétée comme laire de \; \; n \; \; barres verticales rectangulaires de largeur \; \; 1 \; \; de hauteur \; \; \ sqrt {j} \; \; érigées sur laxe \; \; X – \; \; où \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (les côtés verticaux du rectangle \; \; j ^ {th} \; \; sont des parties des ordonnées en \; \; x = j \; \; et \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Pour obtenir une bonne approximation, nous devons soustraire le terme derreur \; \; E (n) \; = \; la zone entre la courbe et les barres rectangulaires, à partir de (1).

Notez que \; \; E (n) \; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

En simplifiant, nous obtenons \; \; S (n) \; \ environ \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;