Meilleure réponse
T\_n (x), le nième polynôme de Chebyshev du premier type, satisfait
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Nous sommes après T\_ {10} (x). Nous connaissons les premiers:
T\_0 (x) = 1 \ quad car \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad car \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad car \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad car \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
On peut calculer facilement les puissances de deux,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4-32 x ^ 2 + 3
En général T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) qui découle assez rapidement de \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
Les T\_n (x) satisfont la récurrence
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Puisque T\_0 (x) et T\_1 (x) ont des coefficients entiers, la récurrence nous dit que tous les T\_n (x) ont des coefficients entiers.
Dérivons la récurrence . Nous commençons par prouver une identité trigonométrique, une formule dangle de somme alternative qui nutilise que le cosinus:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Maintenant,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
ou en laissant x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nous pouvons maintenant calculer T\_ {10} (x) assez facilement,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Nous avons donc enfin notre réponse,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Réponse
Soit x = thêta pour faciliter ma saisie.
Noubliez pas que la multiplication se répète d addition.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Une façon de trouver cos (10x) est dappliquer le identité pour le cosinus de la somme de deux angles 9 fois, ainsi que lidentité similaire pour le sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Maintenant, remplacez le 9x par 8x + x
puis appliquez soigneusement les identités à nouveau sans perdre les cos (x) et sin (x) déjà dans le problème.
Ensuite, partout où vous voyez 8x, remplacez-le par 7x + x, et appliquez à nouveau les identités.
Continuez… ..
Vous voudrez peut-être progresser plutôt que vers le bas.
Trouvez cos (3x), puis cos (4x), etc.
Pendant que vous travaillez, demandez-vous sil existe un moyen plus rapide.
Une fois que nous avons une formule pour
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
vous pourriez essayer de penser
de cos (4x) comme cos (2x + 2x)
et cos (8x ) comme cos (4x + 4x).
Puis cos (10x) comme cos (8x) + cos (2x).
Vous pourriez Je veux aussi simplifier le résultat pour cos (2x), et éventuellement utiliser une identité pythagoricienne pour garder le problème en termes de cosinus seul sans aucun sinus dans le résultat.