Meilleure réponse
Je sais ce que vous demandez mais veuillez apprendre les conventions décriture. Il doit être écrit cos (1/2).
Pour répondre à votre question, vous devrez utiliser une calculatrice ici. Il ny a aucun moyen que je puisse calculer cela à la main. Une autre chose est la valeur en radian ou en degrés. Je vais donner les deux ici. Il est de 0,99996 en degrés et de 0,8775 en radians.
Réponse
De nombreuses personnes se fâchent quand quelquun prétend que 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Je ne fais pas partie de ces personnes, mais je pense que si vous commencez à faire une réclamation comme celle-ci, vous devriez avoir à lesprit ce que cest que vous voulez dire.
Habituellement, lorsque vous définissez une somme infinie déléments a\_n, vous la définissez comme:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Si la limite existe et a une valeur finie, on dit que la somme infinie converge , et nous disons quil est égal à ladite limite. Ainsi, par exemple:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Il existe cependant de nombreuses sommes infinies qui divergent , et nous ne leur attribuons généralement pas de valeur. Un exemple de ceci:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {nexiste pas.}
On peut aussi vérifiez que:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
qui ne converge pas — ainsi, la série 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots est divergent, et donc la définition de limite habituelle ne lui attribue pas de valeur.
Cependant, il existe des façons dont vous peut étendre cette définition. Autrement dit, vous pouvez trouver des moyens dattribuer une valeur finie à des séries divergentes qui sont toujours en accord avec les valeurs que nous obtenons de la manière habituelle pour les séries convergentes. leur nature même ne correspond vraiment à rien de physique *, donc le mieux que lon puisse espérer est que de telles méthodes aient de belles propriétés formelles. En particulier, nous aimerions leur demander de satisfaire les axiomes suivants:
1.) (Régularité) Si \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n est convergente, alors la méthode de sommation est daccord avec le méthode habituelle pour prendre la limite.
2.) (Linéarité) Si \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A et \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B sont sommables , alors nous avons \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Si r est un nombre réel, alors \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilité) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Ces axiomes sont très utiles. Par exemple, vous montrez que toute méthode de sommation qui satisfait ces trois axiomes doit évaluer 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, puisque:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Notez que la linéarité et la stabilité jouent un rôle important dans cette démonstration. La stabilité nous permet de « tirer » le 1 devant, et la linéarité nous permet de factoriser le 2.
Toute méthode de sommation doit également évaluer 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. La preuve est similaire:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Cependant, il y aura des séries divergentes qui ne pourront être évaluées par aucune méthode de sommation satisfaisant ces trois axiomes. Par exemple, supposons que nous puissions attribuer une valeur finie s à la série 1 + 1 + 1 + \ ldots. Alors on aurait:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Oups. Cela devient malheureusement encore pire, car il en découle quaucune méthode de sommation qui satisfait ces trois axiomes ne peut évaluer 1 + 2 + 3 + \ ldots non plus, puisque:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (par stabilité) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (par linéarité)
Donc, si vous voulez définir une méthode de sommation qui évalue 1 + 2 + 3 + \ ldots, vous devez soit rejeter la linéarité ou la stabilité. Il existe différentes approches – certaines sacrifient lune, dautres sacrifient lautre.
Cest, malheureusement, une indication de la façon dont la somme des séries divergentes se déroule: vous avez de nombreuses méthodes différentes pour les additionner, et elles ne le font pas toujours daccord. Ils sont souvent daccord pour des séries importantes, mais si vous affirmez quelque chose comme 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, alors vous feriez mieux de préciser la méthode de sommation que vous utilisez.
En tant que théoricien des nombres, mon approche préférée est la régularisation des fonctions zêta. Lexemple de base en est le suivant: considérons la fonction zêta de Riemann \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Cette formule est convergente uniquement si la partie réelle de s est supérieure à 1.Cependant, il existe un moyen standard détendre la fonction zêta de Riemann pour quelle devienne une fonction sur tout le plan complexe (enfin, vous avez quelques pôles, mais bien que cela soit important, cest un problème technique) — cela sappelle analytique suite, que vous obtenez explicitement en trouvant une équation fonctionnelle pour la fonction zêta.
En utilisant la continuation analytique, vous trouvez que \ zeta (-1) = -1/12. Mais, si vous « branchez cela » à votre expression originale de la fonction zêta, vous obtenez:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Voici comment fonctionne la régularisation des fonctions zêta: vous associez une fonction zêta à votre série , puis utilisez la suite analytique pour associer une valeur finie à la série.
Il sagit, à bien des égards, dun jeu formel qui, bien quintéressant, ne devrait probablement pas être pensé comme correspondant à quelque chose de tangible.
* Oui, je suis conscient que les séries et intégrales divergentes sont utilisées dans les calculs en théorie quantique des champs. Cependant, je dirais que de telles méthodes sont un outil de calcul plus quune interprétation physique de ce qui se passe réellement. En outre, nous navons pas à ce stade de modèle mathématiquement rigoureux de la théorie quantique des champs, donc toute chimère étrange qui ne devrait pas lêtre peut encore être réinterprétée ou entièrement supprimée.