Meilleure réponse
La question que vous posez na pas de sens. Je suppose que cest cos (20 °).
Nous savons ce quest cos (60 °) et la bonne chose est 60 ° = 3 * 20 °.
Nous savons cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Mettez θ = 20 °, dans lidentité ci-dessus et en supposant t = cos (20 °), nous obtenons
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Soit p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1, et p (1) = 1, cela implique que p a trois racines réelles dont un seul est positif (qui se situe entre 0 et 1).
Comme nous savons que cos (20 °) est un nombre positif, alors la racine positive du polynôme ci-dessus est la valeur de cos (20 °).
Une estimation utilisant la méthode de la bissection avec 2–3 itérations vous donnera 0,94.
Donc cos (20 °) = 0,94 (environ)
Réponse
Vous devriez pouvoir la trouver en utilisant lidentité trigonométrique: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Je suppose que cela est dérivé de lidentité: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), mais utilisé deux fois. Pour être honnête, je viens de le chercher. )
Maintenant que nous savons ceci, faites x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Ensuite, faites deux substitutions. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} et y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Et puis avec quelques manipulations:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Il ne reste plus quà résoudre pour y. Résoudre les cubes à la main est une douleur , mais je vais vous indiquer ici: Comment puis-je résoudre une équation du troisième degré? Ensuite, je vais agiter un peu mes mains et résoudre le problème ici: Moteur de connaissances informatiques
Vous obtenez 3 solutions. Un négatif (incorrect) les deux autres sont environ 0,34 et 0,64.
Lequel est-ce? sin (30) = 0,5, et comme nous savons que la fonction sinus augmente jusquà 90 degrés, la solution est denviron 0,34.
Alors, quelle est la solution exacte? Selon Wolfram Alpha:
Cela devrait donner un nombre réel, mais je ne suis pas sur le point de simplifier ce désordre pour vous .
Il suffit de dire que cela peut être fait, mais cest sans surprise un énorme casse-tête.