Meilleure réponse
Sur le cercle unitaire, la coordonnée x est cos (x).
Prenez la limite lorsque x approche 90 degrés. Ce que vous voyez, cest que la coordonnée x sapproche de 0 parce que le rayon sapproche dune ligne perpendiculaire (donc pas de composante x)
Prenez la limite de gauche et cest pareil.
Le triangle se décompose bien sûr.
Voici une image pour vous aider:
Comme vous le voyez, la ligne grise (cosx) devient de plus en plus petite.
Cest tout. Cos (90) vaut 0. Cest 90 degrés et non radians.
Si en radians, cest quelque chose comme −0,448073616129.
Réponse
Permettez-moi de vous donner un complexe réponse.
Soit, \ frac {A} {2} = x.
Donc, A = 2x
Nous avons,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Prenons la formule dEulers « ,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Si nous nous souvenons de cette formule, alors nous pouvons comprendre que,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), car seul \ sin est une fonction impaire, f (-x) = – f ( x), et \ cos est pair, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Nous nous retrouvons donc avec la formule.
Aussi, pour \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Où i est lunité imaginaire . (i ^ 2 = -1)
Maintenant, prenons juste par cœur la formule pour \ cos (2x), (par plugin de x par 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Commençons à dériver notre formule.
En commençant par \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
En expansion, nous obtenons,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Maintenant, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ fois a ^ c = a ^ {b + c},
(Donc, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Maintenant, calculons \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Si nous soustrayons \ sin ^ 2 (\ theta) de \ cos ^ 2 (\ theta), nous obtenons,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
On annule les moins, au dénominateur de \ sin ^ 2 (\ thêta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
En additionnant, nous pouvons annuler -2 + 2 à 0, après cela nous obtenons,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
qui est la même formule pour \ cos (2x) comme nous lavons vu précédemment. Cest donc prouvé.
Mais, nous avons autre chose à faire. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
qui est la même formule pour cos (A)
Donc, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Merci pour A2A