Meilleure réponse
cot θ = 1 / tan θ
cot (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; undefined
En mathématiques, tout nombre divisé par zéro nest pas défini.
Réponse
Les questions de mathématiques deviennent beaucoup plus faciles lorsque vous connaissez la définition des termes en question . Comment \ cot (x) est-il défini? Une fois que nous savons cela, nous devrions pouvoir trouver une réponse dans les plus brefs délais. Vous serez peut-être surpris dapprendre que les mathématiciens (dans un effort pour que les termes soient aussi généraux que possible) ne définissent pas cette fonction géométriquement, ni ne la définissent en termes dautres fonctions «trig». Ils le définissent en fait comme Ceci en utilisant une représentation en série.
Ou, pour être plus précis, ils le définissent en utilisant cette série pour 0 x pi. Pour x = 0, \ pi (et tout autre multiple entier de \ pi), la fonction nest pas définie. Ils étendent ensuite la définition de tous les multiples non entiers de \ pi en notant que la fonction est périodique de période \ pi. En dautres termes, \ forall x \ ne n \ pi (pour tout n \ in \ mathbb Z), nous disons que \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). Cela nous permet dévaluer la fonction pour tout autre x du domaine. Ainsi, par exemple:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
Et puisque 0 000-318 \ pi pi, nous pouvons utiliser notre représentation en série pour évaluer \ cot (1000-318 \ pi) et donc connaître la valeur de \ cot (1000).
Maintenant que nous comprenons la définition de la fonction, nous apprenons deux choses. Premièrement, nous savons que SI il y a une solution, il doit y avoir une infinité de solutions car quelle que soit la solution que vous trouvez, il doit être vrai que n \ pi plus que cette solution est également une solution pour tout n \ in \ mathbb Z. Deuxièmement , nous savons que trouver une solution signifie trouver une valeur de x pour laquelle la série infinie est nulle. Cela semble être une tâche ardue.
Heureusement, nous pouvons en fait montrer que cette représentation en série implique que pour 0 pi, \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Ainsi, lorsque \ cot (x) = 0, il doit également être vrai que \ cos (x) = 0. Ce n’est pas une énorme victoire car la fonction cosinus est également définie en termes de série infinie, mais c’est une série beaucoup plus facile. Et cest une fonction que la plupart des gens comprennent assez bien pour savoir que la seule valeur de x entre zéro et pi pour laquelle il est égal à zéro est \ frac \ pi 2. (Prouver que le résultat de la série est un peu de travail que jai gagné ».
Nous apprenons donc que x = \ frac \ pi 2 est une solution, et nous avons déjà montré que chaque multiple entier de \ pi éloigné de cette solution est également une solution. Lensemble des solutions doit donc être:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {pour certains} n \ in \ mathbb Z \}