Meilleure réponse
Il est tentant décrire
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Ensuite, nous pourrions écrire
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Cela fait la somme:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Je naime pas trop ça pendant quelques les raisons. Tout dabord, il ignore la question de savoir combien de valeurs \ sqrt {i} a.
Nous avons défini le radical appliqué à un nombre réel comme valeur principale, donc y = \ sqrt {x} est une fonction . La valeur principale dune racine carrée complexe est plus complexe (une règle comme langle le moins non négatif) et ne fonctionne pas très bien.
Mon avis est que la meilleure politique est de dire que nous avons deux racines carrées . \ sqrt {i} est à plusieurs valeurs, identique à i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Le deuxième problème que jai avec la formulation exponentielle est le saut immédiat aux coordonnées polaires. Nous empruntons automatiquement un itinéraire tortueux impliquant les fonctions transcendantales et leurs inverses. La racine carrée d’un nombre complexe n’exige pas cela. Nous pouvons vérifier
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
où nous avons besoin dun \ textrm non standard {sgn} (0) = + 1.
Nous avons a = 0, b = 1 donc
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Aucune fonction trig requise. De même a = 0, b = -1 donne
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
La somme semble avoir quatre valeurs possibles:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Calculons les valeurs des parenthèses.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
donc nous avons effectivement quatre valeurs, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Nous pouvons écrire ceci comme suit
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad pour lentier k
Il y a un autre problème à considérer. Parfois, lorsque nous écrivons des expressions qui semblent être conjuguées, cela signifie que lorsque plusieurs valeurs sont considérées, la relation conjuguée est maintenue. Un exemple est le cube déprimé:
x ^ 3 + 3px = 2q a des solutions
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Chacune de ces racines cubiques a trois valeurs sur les nombres complexes. Mais le cube lui-même na que trois solutions. Ainsi, alors que nous pourrions être tentés d’interpréter cette expression comme neuf valeurs différentes, nous savons qu’elle ne doit être que trois. Les deux racines cubiques sont censées être des conjugués et doivent donc être appariées en tant que telles.
Dans cette interprétation, nous ajoutons toujours des conjugués afin dobtenir uniquement les vraies solutions:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} ou (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } qui est \ pm \ sqrt {2}.
Enfin, si nous interprétons le radical comme valeur principale, nous obtenons \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} dans le premier quadrant, et nous devons choisir entre le deuxième et le quatrième quadrant pour la valeur principale de \ sqrt {-i}. La règle du «moindre angle positif» suggère le deuxième quadrant, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} donc
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Un peu de bordel, toutes ces interprétations différentes.
Réponse
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {et} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega est la troisième racine de lunité: z ^ 3 = 1.
Les racines de cette équation sont: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Nous avons: u ^ 3 = 2 + 2i et (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Donc:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ ssi u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {avec} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ siff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {avec} \; k \ in {0,1,2}
Donc:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
On obtient:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {ou} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {ou} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3