Meilleure réponse
Si vous nêtes pas à la traîne, alors je suppose que vous voulez la valeur exacte de \ sin 38. (Pourquoi? Qui sait.) Je décrirai comment arriver à cette valeur exacte. Nous utilisons deux assertions. Si nous connaissons la valeur exacte de \ sin x, alors nous pouvons calculer la valeur exacte de \ sin nx pour tous les entiers n. Aussi, si nous connaissons la valeur exacte de \ sin x, alors nous pouvons calculer la valeur exacte de \ sin \ frac {x} {3}.
Ce qui précède signifie que, si nous trouvions \ sin 1, alors nous pourrions trouver \ sin N pour tout entier N.
Nous prouvons donc les assertions:
Assertion 1 : Si nous connaissons la valeur exacte de \ sin x, alors nous pouvons trouver la valeur exacte de \ sin nx, pour un entier positif n. (Les valeurs négatives suivent).
Preuve : Nous utilisons linduction sur n. De toute évidence, lassertion est vraie pour n = 1. Avant de continuer, notez que la connaissance de \ sinx implique la connaissance de \ cos x. Maintenant, \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x et nous avons terminé.
Assertion 2 : Si nous connaissons la valeur exacte de \ sin x, alors nous pouvons trouver la valeur exacte de \ sin \ frac {x} {3}.
Preuve : Celui-ci est plus intéressant. Pour largument, laissez \ sin \ frac {x} {3} = a. Maintenant \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} ou 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 où nous savons \ sin x. Comme il sagit dun cube, il peut être résolu exactement.
Nous connaissons \ sin 36 et \ sin 30, donc nous connaissons \ sin 6 et donc \ sin 3 et enfin \ sin 1.
Réponse
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0.2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) -0,2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2)
S0 ça va.