Meilleure réponse
Si nous ne voulons pas utiliser les tables trigonométriques, nous pouvons obtenir une valeur approximative de \ tan 27 ^ o en utilisant le développement de Taylor de \ tan x.
La série de Taylor dune fonction à valeur réelle ou complexe f (x), qui est infiniment différentiable en un nombre réel ou complexe a, est donnée par
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, où f ^ {(n)} (a) est la valeur de la dérivée n ^ {th} à x = a.
Notez que langle doit être exprimé en radians.
Soit f (x) = \ tan x et a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radians.
\ Rightarrow \ qquad f « (a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, et,
\ qquad f « » (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Nous voulons la valeur de \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Ensuite, en utilisant uniquement les deux premiers termes de la série de Taylor, nous obtenons ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f « (a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
Lerreur dans cette valeur est -0,3902 \\%.
En utilisant uniquement les trois premiers termes de la série Taylor, nous obtenons,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f « (a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f « » (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0,508592.
Lerreur dans cette valeur est -0,1831 \\%.
Si nous voulons une plus grande précision, nous pouvons utiliser plus de termes.