Meilleure réponse
2x + y = 5, x – y = 1 a une solution unique de x = 2, y = 1. Les lignes 2x + y = 5, x – y = 1 se croisent en un et un seul point et cest (1,2).
Sil y a deux droites parallèles telles que x – y = 1 et x – y = 7 alors il ny a pas de solution aux équations x – y = 1, x – y = 7.
Si 2 équations sont en fait les mêmes telles que x – y = 1,5 x – 5y = 5 alors tout point situé sur cette ligne est une solution telle que x = 3, y = 2 ou x = 1000 y = 999 et il ny a pas de solution unique.
Il devient un peu plus intéressant dans une situation où il y a 3 variables, disons x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 a un unique solution de x = 1, y = 1, z = 1. Les plans 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 se croisent en un et un seul point et cest (1,1, 1).
Sil y a trois plans parallèles tels que x + y + z = 1, x + y + z = 4 et x + y + z = 8 alors il ny a pas de solution aux équations x + y + z = 1, x + y + z = 4 et x + y + z = 8.
Si une équation est une combinaison linéaire de deux autres, il ny a pas de solution unique. Voici un exemple 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Non seulement (1,1,1) est une solution mais aussi (2,2, -2) et (3, 3, -7). En fait, il existe une infinité de solutions.
La raison en est quune équation est une combinaison linéaire des autres
3x + z = 4 est 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Il y a beaucoup de références à cela, mais jespère que cela vous donnera une idée de ce que sont les solutions uniques dans les systèmes linéaires.
Réponse
Ma réponse va dabord supposer quil sagit dun système déquations linéaires par rapport à un système dinégalités linéaires.
Réponse courte – Options mutuellement exclusives: aucune solution, une solution unique ou un nombre infini de solutions.
Réponse longue – Les types de solutions dépendent dans une certaine mesure du nombre déquations, du nombre de variables dans le système linéaire et de la manière dont vous voulez décrire le système.
Algébriquement:
- Un système sans solution est appelé un système incohérent . Cela signifie quil ny a pas densemble de valeurs pour les variables qui résout simultanément toutes les équations du système. Le système suivant est incohérent:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Un système avec exactement une solution est appelé un système cohérent et indépendant. Cohérente car une solution existe et indépendante car chaque équation est indépendante des autres équations. Cela signifie que chaque valeur des variables de la solution est indépendante des valeurs des autres variables. Il existe exactement un ensemble de valeurs – une valeur par variable – qui résout simultanément toutes les équations du système. Voici un système cohérent et indépendant (extrait de mathisfun.com) avec la solution x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Un système avec une infinité de solutions est appelé un système cohérent et dépendant. Cela dépend car au moins une équation du système est un multiple dune autre équation ou une combinaison dautres équations. Cela signifie que si les autres variables du système nont quune seule valeur qui résout simultanément tous les systèmes, une ou plusieurs variables peuvent résoudre le système avec nimporte quelle valeur. Voici un système cohérent et dépendant avec solution y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Graphiquement (système à 3 variables par exemple):
- Un système à deux variables peut être représenté par un groupe de lignes sur un graphe bidimensionnel (généralement xy), alors quun système à trois variables est une collection de lignes ou de plans sur un graphe tridimensionnel (généralement xyz).Ainsi, un système avec n de nombreuses variables est représenté sur un graphe dimensionnel n- .
- Dans un système cohérent et indépendant , tous les plans se rencontrent en un point (cest-à-dire 2 murs et un étage se rejoignant à un coin). Dans le système cohérent et indépendant utilisé ci-dessus dans la réponse algébrique, les trois plans se croisent tous au point (5,3,2).
- Dans un cohérent , système dépendant , tous les avions se rencontrent non seulement en un seul point, mais en une ligne (cest-à-dire trois pages dun livre se réunissant au niveau du dos). Dans le système utilisé ci-dessus dans la réponse algébrique, les trois plans se coupent tous à la ligne -5 y + 20 z = 27 (Notez que x peut être nimporte quelle valeur de la solution).
- Dans un système incohérent , au moins deux plans sont parallèles et ne se rencontrent donc jamais. Le troisième plan peut être parallèle aux deux plans (cest-à-dire les lignes de route sur une rue) ou peut les croiser tous les deux mais jamais au même endroit. (cest-à-dire les murs opposés dans une pièce et le plafond).