Meilleure réponse
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Pour x + 2 = 0, nous avons x = -2
Pour x ^ 2-2x + 4 = 0, nous devons le résoudre avec la formule quadratique:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2- 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Nous obtenons la solution x = 1 + i \ sqrt {3} et x = 1 – i \ sqrt {3}
Si nous parlons de nombres réels, -8 a une racine cubique: -2
Si nous parlons de nombres complexes, -8 a trois racines cubiques: -2, 1 + i \ sqrt {3} et 1 – i \ sqrt { 3}
Réponse
Vous ne dites pas si vous voulez la réponse dans un contexte réel ou un contexte complexe. Il existe une racine réelle et une paire de racines conjuguées complexes. Vous dites «racine cubique» au singulier. Par conséquent, il semble naturel de considérer le cas dun contexte réel avec sa seule racine réelle et séparément le cas de la racine principale dans un contexte complexe.
Dans un contexte réel, la racine cubique de −8 est −2.
Dans un contexte complexe, la racine cubique principale de −8 est 1 + i \ sqrt {3}. Cela peut sembler étrange que la racine sélectionnée dans un contexte réel ne soit pas également sélectionnée dans un contexte complexe, même si la racine réelle est disponible. Cependant, la racine principale dans un contexte complexe est celle qui est la plus proche dêtre sur laxe réel positif, et si deux se rejoignent pour être plus proches, prenez celle avec une partie imaginaire positive. La racine cubique nest pas une fonction continue dans le plan complexe – il y a une branche coupée le long de laxe réel négatif.