Meilleure réponse
Expliquera à laide dun exemple. La figure montre une ferme chargée et supportée comme indiqué. Notre intérêt est de connaître les réactions et les forces de tous les membres dun treillis. Les réactions et les forces dans les éléments dépendent non seulement de lamplitude et de la direction des forces appliquées, mais également de leur emplacement, cest-à-dire des points dapplication. Le diagramme despace prend en compte le point dapplication des forces et la géométrie de la ferme.
La figure ci-dessus est seulement pour obtenir les réactions. La force appliquée P\_1 est ab et la force P\_2 est bc dans le diagramme vectoriel. La réaction R\_1 est égale à da et la réaction R\_2 est égale à cd dans le diagramme vectoriel.
Nous pouvons continuer avec le diagramme despace et le diagramme vectoriel pour calculer les forces dans tous les membres. Pas fait ici juste pour garder la figure très simple à comprendre.
La condition déquilibre est remplie lorsque le diagramme vectoriel et le polygone du funiculaire se ferment.
Réponse
Il nest pas tout à fait clair ce que signifie «positions» ici, mais je pense quune réponse pourrait être que les vecteurs nont pas de positions mais que les espaces vectoriels peuvent avoir des positions, et ces deux idées couvrent les applications.
I m en supposant ici que labsence de «positionnalité» dans la question renvoie au fait que des «flèches» parallèles de même longueur et dorientation représentent le même vecteur. Il existe de nombreuses raisons pour lintroduction de cette convention.
- Lune des idées fondamentales sous-jacentes à lutilisation de base des vecteurs est le concept de déplacement , qui est également la source de la vitesse, de laccélération et (via F = ma) de la force. Les déplacements nont pas de position, mais il y a un déplacement potentiel dune direction et dune amplitude données à chaque position. Si nous disons «dirigez-vous vers le nord-ouest à dix milles», il s’agit d’une instruction de déplacement qui s’applique partout et non à un endroit particulier uniquement.
- Les déplacements peuvent être combinés, mais seulement si le deuxième déplacement commence là où le premier se termine . Si les déplacements sont représentés par des flèches, alors, afin dobtenir le déplacement combiné, lune des flèches doit être translatée afin dobtenir une configuration queue-à-tête pour le déplacement combiné. Bien sûr, cela naurait pas de sens si la flèche traduite ne continuait pas à représenter le même déplacement.
- Lexpérience du comportement des forces nécessite la capacité de traduire les flèches de force autour, puisque en termes de forces les objets se comportent comme si toute leur masse était concentrée à leur centre de gravité et toutes les forces agissaient sur ce point. (Jai fait attention à mon langage en italique ici, car quelque chose de différent se produit lorsque des couples sont introduits!)
Labstraction mathématique couvrant toutes ces situations est lespace vectoriel. Si nous avons besoin davoir des flèches qui peuvent être situées nimporte où, alors nous imposons une relation déquivalence sur lensemble des flèches, rendant deux flèches équivalentes si elles sont parallèles et ont la même direction. (« Même direction » a un contenu intuitif qui est un peu difficile à rendre systématique.) Un vecteur devient alors une classe déquivalence de flèches, et laddition de vecteurs est définie en prenant des représentants de classe «pratiques» et en les ajoutant via la loi de la queue à la tête ou du parallélogramme.
Lutilisation de classes déquivalence et leurs représentants ne devraient pas du tout sembler particuliers; cest exactement ce que nous faisons avec les fractions. Une «fraction» peut être considérée comme une classe déquivalence de symboles a / b (b \ ne 0) sous la relation déquivalence a / b \ equiv (na) / (nb). Lorsque nous voulons ajouter deux «fractions», nous enracinons sur leurs classes déquivalence respectives jusquà ce que nous trouvions deux représentants avec le même dénominateur, puis ajoutons les numérateurs. Lajout de vecteur est très analogue à cela. De plus, avec les fractions, il existe un ensemble «préféré» de représentants de classe, les fractions «dans les termes les plus bas». Pour les vecteurs, il y a aussi une classe «préférée» de représentants, les vecteurs dont les queues sont à lorigine, et ce sont ce que lon considère comme les éléments abstraits dun espace vectoriel lorsque lanalogie des flèches est en jeu.
Maintenant, il y a des situations dans lesquelles il est vraiment important de savoir où se trouve la flèche, déplacer la flèche na aucun sens et les flèches situées à différents points ne peuvent et ne doivent pas être ajoutées. Une carte météorologique avec des flèches représentant la vitesse du vent à divers endroits en est un exemple. Les couples mentionnés précédemment sont également un exemple; lemplacement dune force par rapport au centre de gravité est important, et la flèche de force ne peut pas être déplacée vers un autre point sans modifier le couple résultant. (Notez, en passant, que les couples eux-mêmes sont des vecteurs que lon peut ajouter.) Pour un exemple mathématique générique, le champ de gradient dun champ scalaire se compose de flèches qui sont épinglées à des emplacements particuliers et ne sont pas traduisibles arbitrairement.
Une observation élémentaire sur ces vecteurs dépendant de la position est que le vecteur habituel les lois despace (addition et multiplication scalaire) continuent de sappliquer pour tous les vecteurs à nimporte quelle position fixe . Cela nous indique que la «solution» à lénigme dépendant de la position est de placer un espace vectoriel entier en chaque point de lespace en question. Les espaces résultants sont généralement appelé espaces tangents , car lespace tangent en un point peut être considéré comme lensemble de tous les vecteurs de vitesse pour les chemins paramétrés passant par ce point (en supposant une différentiation suffisante pour la description pour avoir un sens).
Lensemble de tous les espaces tangents est appelé la tangente bundle, et maintenant si vous avez besoin dun vecteur dépendant de la position à chaque point de votre espace, vous avez besoin dune carte de lespace au faisceau tangent qui sélectionne exactement un vecteur dans chaque espace tangent à points distincts; une telle carte est appelée une section du bundle, et la collection résultante de vecteurs dépendant de la position est appelée champ vectoriel sur lespace dorigine.
De cette façon, nous obtenons notre gâteau et le mangeons aussi; les vecteurs nont pas de «positions» mais les espaces vectoriels en ont.