La meilleure réponse
\ frac {d} {dx} nest pas une « chose ». Vous devriez y penser comme sil sagissait du nom dune action ou dune opération, ou dune fonction qui prend une entrée. [1]
Plus précisément, si f (x) est une fonction, nous pouvons vouloir effectuer laction de différenciation sur cette fonction; une façon décrire cette action est \ frac {d} {dx} f (x). Cela signifie que f (x) est lentrée de lopération de différenciation par rapport à x.
Grammaticalement, alors, \ frac {d} {dx} nest pas « une phrase complète » , ou même un nom autosuffisant. Cest plus comme un verbe, qui a besoin dun objet direct. Cet objet direct peut être nimporte quelle fonction de x – en particulier, si y est une fonction de x, alors \ frac {d} {dx} y a du sens décrire . En anglais, cette phrase signifie « le résultat de la prise de la dérivée par rapport à x de y ». Par souci de brièveté, nous écrivons généralement ceci comme \ frac {dy} {dx}, mais jusquà ce que vous soyez à laise avec la notation \ frac {d} {dx}, je vous suggère de continuer à écrire lentrée de lopération de différenciation vers la droite, comme je lai fait.
À votre deuxième question: la règle de la chaîne est la méthode de calcul dun dérivé dune composition de fonctions.
[1] Oui, je sais, les fonctions sont aussi des choses.
Réponse
Soit f la fonction:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) où x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Soit « s calculer \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. En différenciant (1) on obtient:
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
Si nous divisons les deux côtés par dt, le résultat est:
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Nous obtenons le résultat final:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x « \_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x « \_ {n} (t) Cette dérivation se fait en utilisant la définition de différentielle dune fonction multivariée (équation (2)).
Alors, comment avons-nous obtenu cette définition? Voyons dabord comment nous définissons f étant différenciable à un certain point A.
Si nous pouvons montrer que le différentiel total dune fonction f à un certain point A ressemble à ceci:
\ triangle f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangle x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
où p\_ {k} est un coefficient numérique, \ omega est une fonction qui a une propriété que \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 et \ rho (X, A) est la distance euclidienne entre A et X alors on dit que la fonction f peut être différenciée au point A.
Maintenant, nous aurons besoin dun autre théorème:
Lexpression \ omega (X) \ rho (X, A) de ce qui précède peut sécrire:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Preuve:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
puisque | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), car | x\_ {k} -a\_ {k} | est larête an d \ rho (X, A) est la diagonale du parallélépipède rectangle, nous pouvons prendre la fraction \ epsilon\_ {k} (X).
Il nous faut maintenant juste un théorème de plus pour arriver au différentiel. Ce théorème nous donne les conditions nécessaires pour avoir le différentiel de la fonction.
Si la fonction f est peut être différenciée à un certain point A, alors il y a des différentiels partiels à ce point et il est vrai que:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Preuve:
Puisque nous « avons dit que f peut être différenciée au point A, nous pouvons écrire:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Disons que n-1 variables ici sont constantes, et nous ne laisserons quun seul changement petit à petit. Par exemple: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, nous obtenons:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. Sur le côté gauche, nous avons un différentiel par rapport à x\_ {1}. Si nous divisons les deux côtés par x\_ {1} -a\_ {1} = \ triangle x\_ {1} nous obtiendrons:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Maintenant, si x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , cest-à-dire \ triangle x\_ {1} \ mapsto 0, sur le côté gauche, nous avons un différentiel partiel par rapport à x\_ {1}, et sur le côté droit, nous sommes laissés avec p\_ {1} parce que nous avons dit que \ omega (X) \ mapsto 0. Il est facile de voir que le même résultat sapplique quelle que soit la variable que nous finissons par changer, donc nous avons prouvé ce théorème. De là, nous avons cela
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} que nous avons utilisé pour trouver la solution.