Meilleure réponse
Lopérateur Del est un moyen de trouver le dérivé dun vecteur. Vous êtes peut-être familier avec la recherche de la dérivée des fonctions scalaires, qui peut être représentée par quelque chose de la forme
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f « (x)
où f (x) est une fonction de x, f « (x) est sa dérivée, et \ frac {d} {dx} est le terme qui nous dit de prendre la dérivée en premier lieu. Vous pouvez considérer \ frac {d} {dx} comme un opérateur dérivé, car il vous dit de prendre un dérivé de la chose à côté de laquelle il est.
Maintenant, nous voulons aussi faire ceci pour les vecteurs, le plus souvent ceux représentés en coordonnées cartésiennes (fonctions de x, y et z). Pourquoi? Parce que de nombreux phénomènes physiques (tels que les champs électriques ou gravitationnels) peuvent être décrits comme des vecteurs, et les changements de ces phénomènes (et donc des dérivés) sont importants.
Alors, comment prend-on la dérivée dun vecteur ? Nous utilisons lopérateur Del. Puisque nous voulons lutiliser avec des vecteurs, il devra être un vecteur lui-même. Et puisque nous voulons lutiliser pour les trois coordonnées cartésiennes et pas seulement pour x, il aura plus de lettres. En fin de compte, lopérateur Del ressemble beaucoup à notre opérateur dérivé ci-dessus, mais avec quelques termes supplémentaires:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
Le \ nabla est ce que nous appelons le Del Operator, bien que le symbole soit officiellement un «nabla»; On ma honnêtement appris que cela sappelait un delta à lenvers! Outre juste une dérivée par rapport à x, nous prenons maintenant également des dérivées partielles par rapport à y et z. Lorsque nous prenons une dérivée partielle, nous traitons simplement toutes les variables sauf une comme des constantes, et prenons la dérivée par rapport à la variable choisie.
Maintenant, comme il y a deux façons de multiplier les vecteurs, nous obtenons naturellement deux façons de prendre une dérivée vectorielle. Les deux méthodes pour multiplier les vecteurs utilisent le « produit scalaire » et le « produit croisé . ; le résultat de chaque multiplication est une valeur scalaire et une valeur vectorielle, respectivement.
Un exemple utilisant le produit scalaire calcule la divergence du champ électrique:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Ici, nous prenons un dérivé en utilisant le produit scalaire, et nous nous retrouvons avec la valeur scalaire {\ rho} \_v, qui est la densité de charge volumique dans une région.
Un exemple utilisant le produit croisé est dans le calcul de la courbure du champ électrique:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Ici, nous prenons une dérivée en utilisant le produit croisé, et nous nous retrouvons avec la valeur vectorielle \ mathbf {B} (plus précisément, sa dérivée temporelle).
Lopérateur Del est également utile en dehors des vecteurs. Si nous traitons lOpérateur Del comme une simple somme de trois choses différentes, nous pouvons le multiplier par une fonction scalaire et cette fonction est distribuée dans lensemble:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
Dans ce cas, nous avons transformé un scalaire en vecteur! Cest ce quon appelle prendre le «gradient» de la fonction scalaire. Ce quil fait, cest quil vous indique dans quelle direction la fonction change le plus rapidement. Ceci est souvent utilisé pour les champs potentiels, qui prennent la forme:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
où \ mathbf {U} est une énergie potentielle (comme un ressort ou une gravité) et F est la force qui résulte dêtre placé dans ce champ. Il s’agit toujours d’un dérivé vectoriel, c’est ce que nous avons décrit précédemment comme étant l’opérateur Del, c’est simplement qu’il s’agit du dérivé vectoriel d’un scalaire au lieu du dérivé vectoriel d’un vecteur. Ouais, ça existe aussi!
Et ça continue. Vous avez peut-être vu le terme {\ nabla} ^ 2; ceci est connu sous le nom de Laplacien, et se voit dans des choses telles que léquation des vagues. Il s’agit essentiellement d’utiliser l’opérateur Del deux fois de suite. Il peut être étendu à dautres systèmes de coordonnées avec plus de variables, ou réduit à deux ou une dimension. Cest un concept très important, et est utilisé dans à peu près toutes les branches de la physique!
Réponse
Lopérateur del (aussi parfois appelé nabla) est défini comme suit: en coordonnées cartésiennes :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
Quant à la signification physique?
Lopérateur del agit comme léquivalent en calcul vectoriel dune dérivée spatiale. Il existe trois types de dérivés associés à lopérateur del. Supposons que A est un vecteur et \ phi un scalaire.
Le Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
La Divergence: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
La Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Chacun de ces types de dérivés a des propriétés intéressantes que vous pouvez vous-même rechercher sur Google.
Jespère que cela vous aidera!
Remarque: Toutes ces équations sont différentes dans dautres systèmes de coordonnées (par exemple sphérique, cylindrique) . Soyez prudent!