Meilleure réponse
Un tenseur contravariant de rang 2 est symétrique sil est invariant sous permutation de ses indices. Ses composantes ne changent pas lors de léchange des indices et satisfont à ce qui suit:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
De même, un tenseur covariant de rang 2 est symétrique sil est invariant sous permutation de ses indices, et que ses composantes satisfont à ce qui suit:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Les tenseurs de rang 2 peuvent généralement être représentés par des matrices , donc la symétrie dun tenseur est essentiellement liée à la symétrie de la matrice qui le représente. On sait que si les entrées dune matrice symétrique (carrée) sont exprimées comme A = (a\_ {pq}), alors a\_ {pq} = a\_ {qp} pour tous les indices p et q. La matrice symétrique est égale à sa transposée ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Des exemples de tenseurs symétriques de second rang incluent le tenseur métrique g \_ {\ mu \ nu} , ou le tenseur de contraintes de Cauchy ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) qui peut sécrire sous forme matricielle comme:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrice} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Si par exemple nous avons un tenseur de rang supérieur de la forme
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
le tenseur est dit symétrique en m et p.
Un tenseur qui est symétrique par rapport à deux contravariants et tout on dit que deux indices covariants sont symétriques.
Un tenseur est appelé skew-symétrique ou anti-symétrique si
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Dans le cas général, un tenseur symétrique est un tenseur invariant sous une permutation de ses arguments vectoriels:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
pour chaque permutation σ des symboles {1, 2, …, r }. Alternativement, un tenseur symétrique dordre ou de rang r représenté en coordonnées comme une quantité avec r indices satisfait
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Réponse
Les matrices sont des tableaux rectangulaires déléments de certains champs (généralement \ mathbb {R} ou \ mathbb {C}, mais pas toujours) qui ont un opération de multiplication par une autre matrice et multiplication par un élément de champ défini.
Les matrices sont utilisées pour représenter un grand nombre de choses différentes:
- coefficients déquations linéaires
- transformations linéaires (étant donné un ensemble ordonné particulier de vecteurs de base)
- changement de base despaces vectoriels (étant donné deux ensembles ordonnés de vecteurs de base)
- tenseurs (spécifiquement dordre 2 tenseurs)
- certains groupes
- etc.
Certaines de ces utilisations peuvent être confuses: étant donné une matrice carrée non singulière sans contexte, il est impossible de dire en le regardant sil représente une transformation linéaire (ou sur quelle base elle est), un changement de base ou un tenseur.
En bref, les matrices sont très générales.
Les tenseurs sont des fonctionnelles multilinéaires sur des vecteurs et des fonctionnelles (vecteurs doubles). En dautres termes, un tenseur dordre n + m est une fonction sur n vecteurs et m vecteurs doubles qui renvoie un nombre réel ou complexe, et est linéaire sur tous ses arguments.
Tenseurs sur des espaces vectoriels de dimension finie peut être représenté par un tableau à n + m dimensions déléments du champ de lespace vectoriel, et pour les tenseurs dordre 2, cela est souvent représenté comme une matrice. Tout comme la représentation matricielle des transformations linéaires, la représentation multidimensionnelle dun tenseur dépend de la base utilisée.
Les tenseurs sont souvent décrits, utilisés et parfois même défini en termes de tableaux multidimensionnels déléments de champ, sous réserve de la restriction de la façon dont le tenseur se transforme en ce qui concerne les changements différentiels dans les vecteurs de base. Mais au fond, ce sont des fonctionnelles multilinéaires sur des vecteurs et des fonctionnelles linéaires.