Meilleure réponse
Il est donné que
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Maintenant la valeur de x ^ 2 sera – \ omega et – \ omega ^ 2
Où
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Et
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Prenons que x ^ 2 sera – \ omega
Maintenant, lexpression donnée est \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Rappelons maintenant que \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Donc
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
La réponse est donc 0
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Réponse
Ce problème est un peu plus simple quil ny paraît au premier abord, et cest une leçon sur son utilité il peut sagir de rechercher – puis dexploiter – la symétrie. Le problème ne nécessite aucun calcul pour être résolu, bien que si vous connaissez un peu de calcul, cette approche fonctionne très bien. La clé dune solution non-calcul est dobserver que si la même valeur minimise g (x) et h (x), elle minimise également g (x) + h (x). Voyez-vous pourquoi cest vrai?
Comment pouvons-nous appliquer cette idée à ce problème?
Considérons g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Cette fonction est symétrique autour de x = 3,5 – le point à mi-chemin entre les valeurs +3 et +4 qui sont ajoutées à x – puisque nous pouvons lécrire comme g (x) = ((x + 3,5) -0,5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Soit y = x + 3,5, cette symétrie implique que g (y) doit être un polynôme pair, donc il contient des termes avec seulement des puissances paires de y. Puisquil sagit dun polynôme pair, le théorème binomial nous dit que tous ses coefficients doivent être positifs. (En fait, cest g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, mais nous navons même pas besoin de trouver ces trois termes explicitement pour terminer largument.) Puisque y = 0, minimise clairement chacun des sommations de g (y) individuellement puisque chacune est une puissance paire de y avec un coefficient positif, notre observation initiale implique que y = 0 doit également minimiser g. Nous avons donc découvert que x = -3.5 est le minimiseur unique de g (x).
Ensuite, considérons h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Cette fonction est légèrement plus simple que g car elle est quadratique, et un argument presque identique implique que x = 3,5 est également le minimiseur unique de h (x). Exploitez la symétrie pour lécrire comme h (x) = ((x + 3,5) -3,5) ^ 2 + ((x + 3,5) +3,5) ^ 2. Notez ensuite que h (y) est un polynôme pair (donc na que des puissances paires de y), et utilisez le théorème binomial pour conclure quil na que des coefficients positifs. En fait, h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, mais encore une fois, nous navons pas besoin de le trouver explicitement. Puisque y = 0 minimise tous les termes qui sont ajoutés pour produire h (y), nous savons que y = 0 minimise h (y), et nous concluons que x = -3,5 est le minimiseur unique de h (x).
Enfin, puisque x = -3.5 est lunique minimiseur de g (x) et h (x), cest lunique minimiseur de leur somme, et le problème est résolu.