Beste antwoord
Er is geen absolute manier om hellingen toe te wijzen aan cirkels op een bol. In de link die door de vragensteller wordt gegeven, wordt een mapping gebruikt die stereografische parametrisering wordt genoemd: stereografische parametrisering brengt een vlak in kaart op een bol, in wezen door het vlak te identificeren als homeomorf met een bol met een enkel punt verwijderd (bij gebruik van stereografische projecties en parametriseringen is dit vaak het “punt op oneindig” of projectiepunt genoemd).
Een fundamentele eigenschap van deze mapping is dat het conform is: het behoudt de hoeken waaronder vloeiende bochten elkaar kruisen. In het bijzonder wijst het rechte lijnen in het vlak toe aan geodetische bogen op de bol.
Om de helling van een lijn in het vlak te meten, moeten we een georiënteerde lijn kiezen waartegen we willen meten. Dit wordt traditioneel gekozen als de “x-as” die naar rechts is gericht, omdat we vaak werken met grafieken die zijn geplot tegen een horizontale onafhankelijke as (en ik vermoed dat de oriëntatie van links naar rechts komt bij het lezen van de meeste westerse talen). De as die we kiezen, bepaalt hoe hellingen worden gemeten.
Dus als we eenmaal een as hebben gekozen, kunnen we deze in kaart brengen in een grote cirkel op de bol, en dan kunnen we de helling van een cirkel beschrijven door het stereografisch terug naar het vlak te projecteren en te meten zoals normaal. Ik moet echter benadrukken dat dit geen algemene functie is om geodeten op te eten en getallen uit te spugen! Het is een functie die twee geodeten EN een punt opeet (dus we weten waar de oorsprong is, of dubbel, waar het “punt op oneindig” is), en spuugt een getal uit dat de relatieve helling geeft met betrekking tot een “referentieframe”.
Bewerken. Er zit me iets dwars met dit antwoord sinds ik het gisteren schreef, en er klikte vanmorgen op een belangrijk punt: veel cirkels op de bol zijn toegewezen aan cirkels in het vliegtuig en omgekeerd, aangezien conforme kaarten lijnen en cirkels kunnen uitwisselen (merk op dat beide curven een constante kromming hebben). Dus de helling van een cirkel gemeten tegen een andere (georiënteerde!) Cirkel, met een gekozen basispunt, zal niet kloppen zoals ik beschrijf, tenzij ze allebei zijn toegewezen aan lijnen in het vlak. Dit is juist waar wanneer beide grote cirkels het punt op oneindig snijden , en daarom moeten we ook eisen dat het punt dat we voor projectie kiezen ook een snijpunt is van de cirkels. Als je hun verschillen op dat punt op de bol bekijkt, kun je hun relatieve helling afleiden. Als een gelikte formule me raakt, zal ik updaten. Het spijt me dat ik slordig ben en dit mis!