Najlepsza odpowiedź
Wyjaśni na przykładzie. Rysunek przedstawia kratownicę załadowaną i podpartą, jak pokazano. Naszym celem jest poznanie reakcji i sił we wszystkich elementach kratownicy. Reakcje i siły w prętach zależą nie tylko od wielkości i kierunku przyłożonych sił, ale także od ich lokalizacji, czyli punktów przyłożenia. Diagram przestrzenny uwzględnia punkt przyłożenia sił i geometrię kratownicy.
Powyższy rysunek to tylko po to, aby uzyskać reakcje. Przyłożona siła P\_1 to ab, a siła P\_2 to bc na diagramie wektorowym. Reakcja R\_1 jest równa da, a Reakcja R\_2 jest równa cd na diagramie wektorowym.
Możemy przejść dalej z diagramem przestrzennym i diagramem wektorowym, aby obliczyć siły we wszystkich elementach. Nie zrobiono tutaj tylko po to, aby rysunek był bardzo prosty do zrozumienia.
Warunek równowagi jest spełniony, gdy diagram wektorowy i wielokąt kolejki zostaną zamknięte.
Odpowiedź
To nie jest do końca jasne, co oznaczają tutaj „pozycje”, ale myślę, że odpowiedź może być taka, że wektory nie mają pozycji, ale przestrzenie wektorowe mogą mieć pozycje, a te dwa pomysły obejmują zastosowania.
I Zakładam tutaj, że brak „pozycjonowania” w pytaniu odnosi się do faktu, że równoległe „strzałki” o tej samej długości i orientacji reprezentują ten sam wektor. Istnieje wiele powodów, dla których warto wprowadzić tę konwencję.
- Jedną z podstawowych idei leżących u podstaw podstawowego wykorzystania wektorów jest koncepcja przemieszczenia , która jest również źródłem prędkości, przyspieszenia i (poprzez F = ma) siły. Przemieszczenia nie mają pozycji, a raczej istnieje potencjalne przemieszczenie o danym kierunku i wielkości w każdym położeniu. Jeśli powiemy „kieruj się piętnaście mil na północny zachód”, jest to instrukcja dotycząca przemieszczenia, która ma zastosowanie wszędzie, a nie tylko w określonym miejscu.
- Przemieszczenia można łączyć, ale tylko wtedy, gdy drugie przemieszczenie zaczyna się tam, gdzie kończy się pierwsze . Jeśli przemieszczenia są przedstawione za pomocą strzałek, to w celu uzyskania połączonego przemieszczenia jedna ze strzałek musi zostać przesunięta, aby uzyskać konfigurację od ogona do głowy dla połączonego przemieszczenia. Oczywiście nie miałoby to sensu, gdyby przesunięta strzałka nie reprezentowała nadal tego samego przemieszczenia.
- Doświadczenie z zachowaniem sił wymaga umiejętności tłumaczenia strzałek sił, ponieważ w kategoriach sił obiekty zachowują się tak, jakby cała ich masa była skupiona w ich środku ciężkości i wszystkie siły działały w tym punkcie. (Byłem ostrożny z moim językiem pisanym kursywą, ponieważ po wprowadzeniu momentów obrotowych dzieje się coś innego!)
Matematyczną abstrakcją obejmującą wszystkie te sytuacje jest przestrzeń wektorowa. Jeśli potrzebujemy strzał, które można umieścić w dowolnym miejscu, nakładamy relację równoważności na zbiór strzał, czyniąc dwie strzałki równoważnymi, jeśli są równoległe i mają ten sam kierunek. („Ten sam kierunek” ma intuicyjną treść, którą trudno jest usystematyzować). wektor staje się wówczas klasa równoważności strzałek, i dodawania wektorów jest definiowana przez wzięcie „wygodnych” reprezentantów klas i dodanie ich za pomocą prawa „ogon do głowy” lub równoległoboku.
Zastosowanie klas równoważności a ich przedstawiciele wcale nie powinni wydawać się dziwni; to jest dokładnie to, co robimy z ułamkami. „Ułamek” można uznać za klasę równoważności symboli a / b (b \ ne 0) w ramach relacji równoważności a / b \ equiv (na) / (nb). Kiedy chcemy dodać dwie „ułamki”, opieramy się na ich odpowiednich klasach równoważności, aż znajdziemy dwóch przedstawicieli o tym samym mianowniku, a następnie dodajemy liczniki. Dodawanie wektorów jest bardzo analogiczne do tego. Co więcej, w przypadku ułamków istnieje „preferowany” zestaw przedstawicieli klas, ułamki „w najniższych kategoriach”. W przypadku wektorów istnieje również „preferowana” klasa przedstawicieli, wektory, których ogony są początkiem, i są one uważane za abstrakcyjne elementy przestrzeni wektorowej, gdy w grę wchodzi analogia strzałki.
Są sytuacje, w których naprawdę ważne jest, gdzie jest strzałka, przesuwanie strzałki nie ma sensu, a strzałki umieszczone w różnych punktach nie mogą i nie powinny być dodawane. Przykładem jest mapa pogody ze strzałkami przedstawiającymi prędkość wiatru w różnych miejscach. Wspomniane wcześniej momenty również są przykładem; położenie siły względem środka ciężkości ma znaczenie, a strzałka siły nie może zostać przeniesiona do innego punktu bez zmiany wynikowego momentu obrotowego. (Nawiasem mówiąc, same momenty obrotowe są wektorami, które można dodać.) Dla ogólnego przykładu matematycznego pole gradientowe pola skalarnego składa się ze strzałek przypiętych do określonych miejsc i nie można ich dowolnie przetłumaczyć.
Elementarną obserwacją dotyczącą wektorów zależnych od pozycji jest to, że zwykły wektor prawa kosmiczne (dodawanie i mnożenie przez skalar) nadal obowiązują dla wszystkich wektorów w jednej ustalonej pozycji . To mówi nam, że „rozwiązaniem” zagadki zależnej od położenia jest umieszczenie całej przestrzeni wektorowej w każdym punkcie danej przestrzeni. Wynikowe spacje to zwykle nazywana przestrzeniami stycznymi , ponieważ przestrzeń styczną w punkcie można uznać za zbiór wszystkich wektorów prędkości dla sparametryzowanych ścieżek przez ten punkt (zakładając wystarczającą różniczkowalność dla opis ma sens).
Zbiór wszystkich przestrzeni stycznych nazywa się styczną bundle, i teraz, jeśli chcesz mieć wektor zależny od położenia w każdym punkcie przestrzeni, potrzebujesz mapy z przestrzeni do wiązki stycznej, która wybiera dokładnie jeden wektor w każdej przestrzeni stycznej w różne punkty; taka mapa jest nazywana sekcją pakietu, a wynikowy zbiór wektorów zależnych od pozycji nosi nazwę pole wektorowe na oryginalnej przestrzeni.
W ten sposób otrzymujemy nasze ciasto i jemy też; wektory nie mają „pozycji”, ale przestrzenie wektorowe mają.