Najlepsza odpowiedź
Operator Del to sposób na znalezienie pochodnej wektora. Możesz być zaznajomiony ze znajdowaniem pochodnej funkcji skalarnych, które mogą być reprezentowane przez coś w formie
\ Displaystyle \ Frac {df (x)} {dx} = f „(x)
gdzie f (x) jest funkcją x, f „(x) jest jego pochodną, a \ frac {d} {dx} jest terminem, który nakazuje nam wziąć pochodną na pierwszym miejscu. Możesz myśleć o \ frac {d} {dx} jako o operatorze pochodnym, ponieważ mówi ci, abyś wziął pochodną rzeczy, która jest obok.
Teraz chcemy to również zrobić dla wektorów, najczęściej reprezentowanych we współrzędnych kartezjańskich (funkcje x, y i z). Czemu? Ponieważ wiele zjawisk fizycznych (takich jak pola elektryczne lub grawitacyjne) można opisać jako wektory, a zmiany tego zjawiska (a tym samym pochodnych) są ważne.
Jak więc wziąć pochodną wektora ? Używamy operatora Del. Ponieważ chcemy go używać z wektorami, będzie to sam wektor. A ponieważ chcemy go użyć dla wszystkich trzech współrzędnych kartezjańskich, a nie tylko x, będzie miał więcej liter. Ostatecznie operator Del wygląda bardzo podobnie do naszego powyższego „operatora pochodnej”, ale z kilkoma innymi warunkami:
\ Displaystyle \ nabla = {\ kapelusz x} \ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x } + {\ hat y} \ frac {\ części} {\ części y} + {\ hat z} \ frac {\ części} {\ części z}
\ nabla jest tym, co nazywamy Del Operator, chociaż oficjalnie symbol to „nabla”; Szczerze mówiąc, właśnie to się nazywało odwróconą deltą! Oprócz samej pochodnej względem x, bierzemy teraz również częściowe pochodne względem y i z. Kiedy bierzemy pochodną cząstkową, po prostu traktujemy wszystkie zmienne z wyjątkiem jednej jako stałe i bierzemy pochodną w odniesieniu do wybranej przez nas zmiennej.
Teraz, ponieważ istnieją dwa sposoby mnożenia wektorów, naturalnie otrzymujemy dwa sposoby na uzyskanie pochodnej wektorowej. Dwa sposoby mnożenia wektorów to „ iloczyn skalarny ” i „ iloczyn poprzeczny ; wynik każdego mnożenia jest odpowiednio wartością skalarną i wartością wektorową.
Przykładem iloczynu skalarnego jest obliczenie dywergencji pola elektrycznego:
\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Tutaj bierzemy pochodną za pomocą iloczynu skalarnego i pozostawiamy wartość skalarną {\ rho} \_v, która jest gęstością ładunku objętościowego w region.
Przykładem iloczynu krzyżowego jest obliczanie zwijania pola elektrycznego:
\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Tutaj bierzemy pochodną za pomocą iloczynu krzyżowego i zostawiamy wartość wektorową \ mathbf {B} (a dokładniej jej pochodną po czasie).
Operator Del jest jednak przydatny również poza wektorami. Jeśli potraktujemy operator Del jako sumę trzech różnych rzeczy, możemy go pomnożyć przez jakąś funkcję skalarną i ta funkcja zostanie rozłożona na całość:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ częściowe f (x, y, z)} {\ częściowe x} + {\ kapelusz y} \ frac {\ częściowe f (x, y, z)} {\ częściowe y} + {\ hat z} \ frac {\ częściowe f (x, y, z)} {\ częściowe z}
W tym przypadku zamieniliśmy skalar w wektor! Nazywa się to przyjęciem „gradientu” funkcji skalarnej. To, co robi, to to, że mówi ci, w którym kierunku funkcja zmienia się najszybciej. Jest to często używane dla potencjalnych pól, które mają postać:
\ Displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
gdzie \ mathbf {U} jest energią potencjalną (taką jak sprężyna lub grawitacja), a F jest siłą wynikającą z umieszczenia w tym polu. Wciąż jest to pochodna wektora, tak jak wcześniej opisaliśmy operator Del, po prostu jest to pochodna wektora skalara, a nie pochodna wektora wektora. Tak, one też istnieją!
I tak dalej. Być może widzieliście termin {\ nabla} ^ 2; jest to znane jako Laplacian i jest widoczne w takich rzeczach, jak równanie falowe. Zasadniczo polega na dwukrotnym użyciu operatora Del. Można go rozszerzyć na inne układy współrzędnych z większą liczbą zmiennych lub zredukować do dwóch lub jednego wymiaru. Jest to bardzo ważna koncepcja i jest używana w prawie każdej gałęzi fizyki!
Odpowiedź
Operator del (czasem nazywany również nabla) jest zdefiniowany następująco we współrzędnych kartezjańskich :
\ nabla \ equiv \ frac {\ Partial} {\ Partial x} \ hat {i} + \ frac {\ Partial} {\ częściowe y} \ hat {j} + \ frac {\ części} {\ częściowe z} \ hat {k}
Co do znaczenia fizycznego?
Operator del działa jako odpowiednik rachunku wektorowego pochodnej przestrzennej. Z operatorem del są powiązane trzy rodzaje instrumentów pochodnych. Załóżmy, że A jest wektorem, a \ phi jest skalarem.
Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ części \ phi} {\ częściowy x} \ hat {i} + \ frac {\ Part \ phi} {\ Part y} \ hat {j} + \ frac {\ Part \ phi} {\ Part z} \ hat {k}
Rozbieżność: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ częściowe A\_x} {\ częściowe x} + \ frac {\ częściowe A\_y} {\ częściowe y} + \ frac {\ częściowe A\_z} {\ częściowe z}
Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ części} {\ częściowe x} & \ frac {\ części} {\ częściowe y} & \ frac {\ Partial} {\ Part z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Każdy z tych typów instrumentów pochodnych ma interesujące właściwości, które możesz samodzielnie wygooglować.
Mam nadzieję, że to pomoże!
Uwaga: wszystkie te równania są różne w innych układach współrzędnych (np. sferyczny, cylindryczny) . Uważaj!