Najlepsza odpowiedź
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Dla x + 2 = 0 mamy x = -2
Dla x ^ 2-2x + 4 = 0, musimy to rozwiązać wzorem kwadratowym:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Otrzymujemy rozwiązanie x = 1 + i \ sqrt {3} i x = 1 – i \ sqrt {3}
Jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, -8 ma jeden pierwiastek sześcienny: -2
Jeśli mówimy o liczbach zespolonych, -8 ma trzy pierwiastki sześcienne: -2, 1 + i \ sqrt {3} i 1 – i \ sqrt { 3}
Odpowiedź
Nie określasz, czy chcesz uzyskać odpowiedź w rzeczywistym, czy w złożonym kontekście. Jest jeden prawdziwy korzeń i para złożonych korzeni sprzężonych. Podajesz „pierwiastek sześcienny” w liczbie pojedynczej. Dlatego wydaje się naturalne rozważenie przypadku rzeczywistego kontekstu z jego jednym prawdziwym rdzeniem i osobno przypadku głównego pierwiastka w złożonym kontekście.
W rzeczywistym kontekście pierwiastek sześcienny -8 jest −2.
W złożonym kontekście, główny pierwiastek sześcienny z -8 to 1 + i \ sqrt {3}. Może się to wydawać dziwne, że katalog główny wybrany w rzeczywistym kontekście nie jest również wybierany w kontekście złożonym, mimo że prawdziwy katalog główny jest dostępny. Jednak główny pierwiastek w złożonym kontekście to ten, który jest najbliżej znajdowania się na dodatniej osi rzeczywistej, a jeśli dwa elementy są najbliższe, weź ten z pozytywną częścią urojoną. Pierwiastek sześcienny nie jest funkcją ciągłą na płaszczyźnie zespolonej – istnieje gałąź przecięta wzdłuż ujemnej osi rzeczywistej.