Najlepsza odpowiedź
W przypadku promieniowania elektromagnetycznego (radiometria) jest to stężenie lub funkcja długości fali oświetlenia (wyjście radiometryczne).
Natężenie promieniowania i strumień świetlny lub postrzegana moc światła to przykłady rozkładu widmowego.
Widmowy rozkład mocy w zakresie widzialnym ze źródła może mieć różne stężenia względnych SPD. Na przykład, względny widmowy rozkład mocy Słońca daje biały wygląd, jeśli jest obserwowany bezpośrednio, ale kiedy światło słoneczne oświetla ziemską atmosferę, niebo wydaje się niebieskie w normalnych warunkach dziennych.
SPD może być również używany do określania odpowiedzi czujnika przy określonej długości fali.
Mam nadzieję, że spodobała Ci się ta odpowiedź! Proszę zagłosuj za mną i za mną 🙂
Odpowiedz
Być może warto najpierw rozważyć następujące zwodniczo elementarne pytanie:
Pytanie: Co jest jakościową, niealgebraiczną własnością macierzy diagonalizowalnych, odróżniających je od macierzy niediagonalnych? (Zapomnij o tym, czy diagonalizacja jest na razie wykonywana przez unitarną).
Jedna odpowiedź na to proste pytanie zaczyna się od stwierdzenia, że macierze diagonalne mają następujące cechy
Własność wielomianu macierzy diagonalnych: Jeśli A jest macierzą diagonalizowalną, a P jest rzeczywistym wielomianem, to P (A) zależy tylko od wartości P (lamda) P w wartościach własnych lamda A.
Tutaj używamy
Definicja stosowania wielomianu do macierzy: Jeśli P (x) jest wielomianem
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
i A jest macierzą, wtedy definiujemy
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
gdzie I jest macierzą tożsamości i gdzie są tworzone wykładniki za pomocą mnożenia macierzy.
Możesz udowodnić tę wielomianową własność macierzy diagonalizowalnych powyżej, przekątniając A i patrząc, co się dzieje, gdy weźmiesz wielomian diagonalnej macierzy.
Dla diagonalizowalnej macierzy można rozszerzyć pojęcie stosowania funkcji do macierzy z wielomianów na dowolne fu ncje wykorzystujące następujące
Definicja (rachunek funkcyjny dla macierzy diagonalizowalnych, forma nieelegancka): Niech A będzie macierzą diagonalizowalną i niech f będzie funkcja o wartościach rzeczywistych lub zespolonych wartości własnych A. Wtedy f (A) jest macierzą
f (A) = M f (D) M ^ -1,
gdzie
A = MDM ^ -1
jest przekątną A, z przekątną D i M odwracalną, i gdzie f (D) jest tworzone przez zastąpienie każdej diagonalnej lamdy wejściowej D by f (lamda).
Przykład: Niech f (x) = x ^ (1/3) będzie pierwiastkiem sześciennym funkcji i niech A będzie diagonalizowalną macierzą. Zatem C = f (A) jest w rzeczywistości pierwiastkiem sześciennym A: C ^ 3 = A.
Przykład: Jeśli A to niesingularny i diagonalizowalny if (x) = 1 / x, a następnie f (A) jest odwrotną macierzą A.
Przykład: Jeśli A jest diagonalizowalne if (x) = exp (x), to f (A) jest wykładniczą macierzą A, określoną przez zwykły szereg Taylora:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
Aby zobaczyć, że ta definicja f (A) jest dobrze zdefiniowana (tj. niezależnie od diagonalizacji) i zobaczyć, jak postępować w przypadku niemożliwym do diagonalizacji, pomocne jest aby ponownie zdefiniować f (A) dla przekątnej A w następującej postaci:
Definicja alternatywna (rachunek funkcjonalny dla macierzy diagonalizowalnych, lepsza forma): Niech A będzie macierzą diagonalną i niech f będzie rzeczywistą lub zespoloną funkcją wartości własnych A. Następnie f (A) = P (A), gdzie P jest wielomianem wybranym tak, że f (lamda) = P (lamda) dla każdej lamdy wartości własnej A.
W szczególności nie trzeba faktycznie diagonalizować macierzy, aby obliczyć funkcję f (A) macierzy: Interpolacja f przy wartościach własnych A daje wielomian wystarczający do obliczenia f (A).
A co się stanie, jeśli A nie jest diagonalizowalne? Cóż, jeśli pracujemy nad liczbami zespolonymi, wówczas postać normalna Jordana mówi, że wybierając odpowiednią podstawę, taką macierz można zapisać jako macierz blokowo-diagonalną, bezpośrednia suma Jordan Blocks Jn like
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
gdzie Jn jest macierzą lęku z pewną liczbą zespoloną a na przekątnej i łańcuchem 1 „s nad przekątną. Zauważ, że w każdym przypadku Mn ma jedną wartość własną a wielokrotności n.
Żaden z tych bloków Jordana nie jest diagonalizowalny, ponieważ poniższe twierdzenie mówi, że Bloki Jordana nie mają wspólnej własności wielomianu dla macierzy diagonalnych :
Twierdzenie: (Działanie wielomianów na blokach Jordana) Niech P będzie a wielomian i niech Jn będzie blokiem nxn Jordana, o powyższej postaci. Wtedy P (J) zależy tylko od P (a) i jego pierwszych n pochodnych w a. IE
P (J2) = P (a) P „(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P „(a) P” „(a) / 2 0 P (a) P” (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P „(a) P” „(a) / 2! P” „(a) / 3! 0 P (a) P „(a) P” „(a) / 2! 0 0 P (a ) P „(a) 0 0 0 P (a)
i tak dalej.
Powyższe twierdzenie można zweryfikować, sprawdzając je dla jednomianów, a następnie rozszerzając je na wielomiany, które są po prostu liniowymi kombinacjami jednomianów.
Aby zobaczyć, jak to się ma do obliczania funkcji macierzy, rozważ następujący problem, który stosuje funkcję pierwiastka sześciennego do macierzy:
Problem (pierwiastki sześcienne macierzy): Niech A będzie nieosobową macierzą mxm rzeczywistą lub złożoną. Znajdź pierwiastek sześcienny C = A ^ (1/3) A, czyli macierz C taką, że A = C ^ 3.
Podajemy dwa rozwiązania: Pierwsze polega na jawnym obliczeniu postaci Jordana macierz A, a druga wykorzystuje tylko istnienie formy Jordana, bez jawnego obliczenia.
Rozwiązanie 1: Forma Jordana , możemy rozłożyć macierz A na bloki Jordana Jn przez wybór podstawy, więc ograniczamy się do przypadku, gdy A = Jn dla pewnego n. Na przykład dla pewnej liczby zespolonej a,
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Teraz nie jest trudno wykazać, że istnieje wielomian
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
takie, że przy wartości własnej a z J3 ma się
P (a) = a ^ (1/3) P „(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” „(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Ponieważ założyliśmy, że żadna wartość własna nie jest równa 0, nic nie jest nieskończone.)
(IE P to funkcja x -> x ^ 1/3 do sekundy pochodna w punkcie x = a. Jest pewna niejednoznaczność w definicji a ^ 1/3 w przypadku złożonym, więc napisałem a ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2), aby się tym zająć, co oznacza, że ten sam pierwiastek sześcienny jest używany we wszystkich trzech formułach.) W rzeczywistości
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
chociaż w rzeczywistości nie musieliśmy obliczać P, ponieważ z ogólnego wzoru na P (J3) w powyższym twierdzeniu,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
To jest właśnie nasz pożądany pierwiastek sześcienny z J3!
C = P (J3).
Aby zobaczyć tę notatkę,
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
gdzie R (x) jest wielomianem spełniającym
R (x) = (P (x)) ^ 3.
Ważną własnością R jest to, że punkt x = a, wielomian R = P ^ 3 odpowiada funkcji tożsamości x -> x aż do pochodnych rzędu 2
R (a) = a R „(a) = 1 R” „(a) = 0,
tak, aby według ogólnego wzoru na wielomian zastosowany do bloku Jordana,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R „(a) R „” (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R „(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
według potrzeb.
Rozwiązanie 2: Jeśli A jest macierzą mxm, znajdź wielomian P (x), tak aby przy każdej wartości własnej x = a z A wielomian i jego pochodne rzędu do m-1 pasują do żądanej funkcji x -> x ^ 1/3. Wtedy C = P (A) jest pożądanym pierwiastkiem sześciennym z A.
Zauważ, że rozwiązanie 2 działa, ponieważ wszystkie bloki Jordana z A będą miały rozmiar mniejszy niż n, a przy rozwiązaniu 1 wielomian P zamieni każdy blok jordan na jego pierwiastek sześcienny. Ponieważ nie zadaliśmy sobie trudu, aby jednoznacznie obliczyć Jordanowską postać A, zastosowany przez nas wielomian P może mieć niepotrzebnie wysoki stopień, ponieważ nie znaliśmy długości łańcuchów Jordana. Jednak interpolacja wielomianowa prawdopodobnie nie była tak trudna, jak obliczenie postaci Jordana (ponadto w ten sposób uniknęliśmy wszelkich niestabilności liczbowych związanych z formą Jordana i zdegenerowanych wartości własnych).
Przykład sześcianu root zachęca do następującej definicji:
Definicja (wariant rachunku Dunforda w przypadku skończonego wymiaru) : Niech A będzie sobą macierz sprzężona. Niech f będzie funkcją rzeczywistą lub zespoloną, której dziedzina zawiera wartości własne A. Następnie
f (A) = P (A),
gdzie P (x) jest wielomian taki, że dla każdej wartości własnej x = a
P (a) = f (a) P „(a) = f” (a) P „” (a) = f „” (a ) …………
gdzie liczba dopasowanych pochodnych jest co najmniej wielkości największego łańcucha 1 „sw bloku Jordana, odpowiadającego wartości własnej a.
Można sprawdzić, czy wynik zastosowania funkcji x-> 1 / x do macierzy A jest w rzeczywistości zwykłą odwrotną macierzą A. Można również sprawdzić, czy wynik zastosowania funkcji wykładniczej lub funkcja sinus do macierzy A jest taka sama, jak zastosowanie odpowiedniego szeregu Taylora dla exp lub sin do macierzy A.
Pojęcie zastosowania funkcji do macierzy nazywa się „rachunkiem funkcjonalnym”, który dlatego rachunek Dunforda nazywany jest „rachunkiem różniczkowym”.
Standardem w definicji rachunku Dunforda jest wymaganie f, aby mieć złożone pochodne, i ogólnie definiuje się to za pomocą wzoru na całkę Cauchyego w przypadku nieskończenie wymiarowym. Przeszedłem przez to wszystko, aby wyjaśnić prosty przypadek o skończonych wymiarach, i pominąłem wyjaśnienie, czym jest pochodna funkcji z liczb zespolonych do liczb zespolonych. (Na szczęście funkcja x-> x ^ (1/3) jest nieskończenie różniczkowalna na niezerowych liczbach rzeczywistych). Mogą tu występować pewne subtelności, ale staram się dać szybki przegląd pojęć.
Jest zatem oczywiste, że w pewnym sensie forma Jordana jest zasadniczo rachunkiem Dunforda, a twierdzenie spektralne jest rachunkiem funkcjonalnym operatorów samosprzężonych (ten ostatni jest punktem widzenia przyjętym przez Reeda i Simona w „Methods of Fizyka matematyczna I: Analiza funkcjonalna. Ta dyskusja jest tylko skończona, ale Reed i Simon rozważają przypadek nieskończenie-wymiarowy.)
W każdym razie, rezultatem tego wszystkiego jest to, że diagonalizowalność jest powiązana z pojęciami podejmowania funkcje macierzy. Nazywa się to rachunkiem funkcjonalnym i istnieją różne rachunki funkcjonalne.
Samosprzężenie jest nieco głębsze, ponieważ implikuje jednostkową diagonalizowalność, a nie tylko diagonalizację. Przestrzenie własne stają się ortogonalne. Nie wymyśliłem dobrego sposobu, aby wyjaśnić, co jest w tym intuicyjnie kluczowe. Jednak w mechanice kwantowej ortogonalne przestrzenie własne są doskonale rozróżnialne, a samosprzężenie staje się stanem naturalnym. Widmo atomu wodoru to tylko różnice między wartości własne operatora Hamiltona.
Nie potrafię wymyślić intuicyjnego wyjaśnienia, dlaczego mechanika kwantowa obejmuje taką matematykę.