Najlepsza odpowiedź
Kontrawariantny tensor rzędu 2 jest symetryczny, jeśli jest niezmienniczy pod permutacją jego indeksów. Jego składowe nie zmieniają się po zamianie indeksów i spełniają następujące warunki:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Podobnie kowariantny tensor rzędu 2 jest symetryczny jeśli jest niezmienna przy permutacji swoich indeksów, a jej składowe spełniają następujące warunki:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensory rzędu 2 można zwykle przedstawić za pomocą macierzy , więc symetria tensora jest zasadniczo związana z symetrią reprezentującej go macierzy. Wiadomo, że jeśli wpisy symetrycznej (kwadratowej) macierzy są wyrażone jako A = (a\_ {pq}), to a\_ {pq} = a\_ {qp} dla wszystkich indeksów p i q. Macierz symetryczna jest równa jej transpozycji ({\ Displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Przykłady tensorów symetrycznych drugiego rzędu obejmują tensor metryczny g \_ {\ mu \ nu} lub tensor naprężenia Cauchyego ({\ Displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}), który można zapisać w postaci macierzy jako:
{\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {Zz} \\\ koniec {macierz}} \ po prawej]}
Jeśli na przykład mamy tensor wyższego rzędu w postaci
\ Displaystyle T\_ {Qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
mówi się, że tensor jest symetryczny w mi p.
Tensor, który jest symetryczny względem dowolnych dwóch przeciwwariantnych i dowolnych mówi się, że dwa kowariantne indeksy są symetryczne.
Tensor nazywany jest skośno-symetrycznym lub antysymetrycznym, jeśli
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
W ogólnym przypadku symetryczny tensor jest tensorem, który jest niezmienny w ramach permutacji jego argumentów wektorowych:
{\ Displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
dla każdej permutacji σ symboli {1, 2, …, r }. Alternatywnie, symetryczny tensor rzędu lub rangi r reprezentowany we współrzędnych jako wielkość z r indeksy spełnia
{\ Displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} ja \_ {\ sigma 2} \ cdots ja \_ {\ sigma r}}.}
Odpowiedź
Macierze to prostokątne tablice elementów z jakiegoś pola (zwykle \ mathbb {R} lub \ mathbb {C}, ale nie zawsze), które mają operacja mnożenia przez inną macierz i mnożenia przez zdefiniowany element pola.
Macierze są używane do reprezentowania dużej liczby różnych rzeczy:
- współczynniki równań liniowych
- transformacje liniowe (przy danym uporządkowanym zbiorze wektorów bazowych)
- zmiana podstawy przestrzeni wektorowej (przy dwóch uporządkowanych zestawach wektorów bazowych)
- tensory (konkretnie kolejność 2 tensory)
- pewne grupy
- itd.
Niektóre z tych zastosowań mogą być zagmatwane: biorąc pod uwagę nieosobową macierz kwadratową bez kontekstu, nie można powiedzieć, patrząc na to, czy reprezentuje transformację liniową (lub na jakiej podstawie), zmianę bazy czy tensor.
Krótko mówiąc, macierze są bardzo ogólne.
Tensory to wieloliniowe funkcjonały na wektorach i funkcjonałach (wektory podwójne). Innymi słowy, tensor rzędu n + m jest funkcją na n wektorach im podwójnych wektorach m, która zwraca liczbę rzeczywistą lub zespoloną i jest liniowa na wszystkich swoich argumentach.
Tensory w skończonych wymiarach przestrzeni wektorowej może być reprezentowana przez n + m-wymiarową tablicę elementów z pola przestrzeni wektorowej, a dla tensorów rzędu 2 jest to często przedstawiane jako macierz. Podobnie jak macierzowa reprezentacja przekształceń liniowych, wielowymiarowa reprezentacja tablicowa tensora zależy od użytej podstawy.
Tensory są często opisywane, używane, a czasami nawet zdefiniowane za pomocą wielowymiarowych tablic elementów pola, z zastrzeżeniem ograniczenia transformacji tensora w odniesieniu do różnicowych zmian w wektorach bazowych. Ale w istocie są one wieloliniowymi funkcjonałami na wektorach i liniowymi.