Najlepsza odpowiedź
Spinor to po prostu wektor, który zachowuje się inaczej przy obrotach i niektórych innych przekształceniach .
Myślę, że zamiast mówić ogólnie, myślenie o spinorach staje się dużo łatwiejsze, gdy ma się konkretny przykład matematyczny do pracy. Ta odpowiedź wystarczy. Nie zakłada się żadnej wiedzy matematycznej poza wstępną algebrą liniową.
Bardziej techniczne wprowadzenie można znaleźć w Doskonały artykuł wprowadzający Steanea na ten temat, z pełniejszym omówieniem tutaj: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Wszystkie poniższe ilustracje należą do niego. Jeśli coś mi się nie powiedzie, nie krępuj się komentować.
Co to są Spinors
Wspomniałem powyżej, że spinory były tylko wektory. Co to znaczy? Oznacza to, że mają wszystkie właściwości wektorów:
- można je dodać do siebie,
- pomnożyć przez stałą (nazywaną także skalarną ),
- istnieje coś takiego jak spinor „zero”,
- a każdy spinor ma spinor odwrotny .
Możesz iść naprzód i dodaj bardziej złożone wymagania:
- Dwa spinory mogą mieć dobrze zdefiniowany iloczyn wewnętrzny, podobnie jak przestrzenie wektorowe.
- Spinor może mieć znaczącą długość, tak jak inne przestrzenie wektorowe.
i tak dalej.
O tylko wymóg dla spinu, który sprawia, że różni się od wektora tym, że próba obrócenia go nie da oczekiwanego rezultatu – próba obrócenia o 360 stopni nie daje tego samego obrotu, ale obrót o 180 stopni. Mówiąc bardziej ogólnie, obrót o kąt \ theta wymaga użycia macierzy obrotu dla kąta \ theta / 2!
Mając to na uwadze, oto prosty spinor, który można sobie wyobrazić w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej i który przyjmuje wszystkie właściwości, które wymieniłem powyżej. Jest to najprostszy spinor, który będzie najbardziej znany fizykom.
Oto całkowicie poprawny matematyczny opis powyższego spinora:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Pozdrów swój pierwszy spinor!
Myślenie o kołpakach: ostrzeżenie
Zanim przejdę dalej, zauważ coś: przestrzeń euklidesowa, jak wspomniałem, jest trójwymiarowa – ale potrzebuję tylko dwa komponenty reprezentujące mój spinor! Jak to może być? Czy wszystkie wektory nie muszą mieć takiej samej liczby elementów, jak wymiar zajmowanej przez nie przestrzeni?
Sprzeczność można rozwiązać jednym zdaniem: spinory nie żyją w przestrzeni euklidesowej – mogą odpowiadać przedmiotom w przestrzeni euklidesowej, a rzeczy, które są na nich robione, mogą odpowiadać rzeczom robionym w przestrzeni euklidesowej, ale to nie jest ich dom. p> Prawda jest taka, że spinor nie ma dwóch elementów, jak powiedziałem powyżej (w tym momencie prawdopodobnie patrzysz na ekran i przeklinasz pod nosem ). Spinor nie ma takiej samej orientacji jak wektor w przestrzeni wektorowej, w której go umieściliśmy – możesz modelować za jego pomocą obiekty w zwykłej przestrzeni wektorowej, tak jak mam tutaj, ale prawdziwy spinor jest zdefiniowany przez więcej parametrów niż zwykły wektor w takiej przestrzeni.
Mówiąc prosto , gdzie orientacja zwykłego wektora byłaby zdefiniowana przez r, \ theta, \ phi, orientacja spinora jest określona przez r, \ theta, \ phi, \ alpha i jego znak (przyjęty jako dodatni w powyższym przykładzie) – właściwie mówiąc, trójwymiarowa przestrzeń wektorowa może być reprezentowana przez czterowymiarowe spinor (znak, ponieważ może przyjmować tylko dwie wartości, może być również traktowany jako wymiar, ale byłby raczej niepotrzebny).
Możesz zapisać ten spinor jako wektor z czterema składowymi , po jednym dla każdego parametru, pomnożone przez znak – lub możesz użyć sztuczki, jak Zrobiłem i udaję , że spinor ma złożone komponenty, co pozwala nam starannie napisać to samo spinor z przedstawieniem powyżej z dwoma współrzędnymi.To dlatego mój spinor wydaje się mieć dwa składniki, gdy naprawdę ma cztery parametry i związany z nimi wymiar, w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej: , ponieważ nasze spinory istnieją we własnej złożonej przestrzeni, nie w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej.
Zanim więc przejdę dalej, pamiętaj : spinory muszą mieć tylko ten sam wymiar przestrzenny (tj. parametry wymagane do określenia jego orientacji w przestrzeni), ale nie muszą to być jedyne parametry, które ją definiują. W tym przypadku składowe mojego spinora traktuję jako zespolone, dlatego mogę zapisać to tak zwięźle w dwuskładnikowym wektorze kolumnowym – ale spinory mogą i mają więcej parametrów, dlatego są dość trudne pracować z.
W prawdziwym życiu zdecydowanie zalecałbym pamiętanie, że spinory nie „t naprawdę żyją obok nas – są one, podobnie jak wszystkie inne rzeczy w fizyce, matematycznymi abstrakcjami , które ułatwiają życie. Wszystko, z czym naprawdę zdarza się trójwymiarowym obiektom – ale możemy użyć spinorów, aby je modelować i uczynić matematykę przyjemniejszą, dlatego to robimy.
Aby kieruj się tym punktem do domu, rozważ następujący diagram:
Zwróć uwagę, jak obecność kąta flagi komplikuje kwestie tak proste, jak obrót i co stanowi ortogonalność. Jest to dodatkowy parametr i to robi różnicę.
Z powodu problemów związanych z tą dziwną wymiarowością spinora, nie można po prostu użyć zwykłej macierzy rotacji dla dwóch wymiarów jesteśmy najbardziej zaznajomieni, a mianowicie wszechobecny \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} dla każdego kąt. Byłoby to poprawne dla dwuwymiarowych wektorów, ale nawet najprostsze spinory są nie , jak już się starałem, dwuwymiarowe. Nie możesz też użyć zwykłych trójwymiarowych macierzy – z pewnością możesz przetłumaczyć efekt obrotu na te kolesie, ale nie jest to poprawne, aby bezpośrednio mnoży się z nimi spinor, ponieważ nie należą one do tej samej przestrzeni.
Jak obracać wirniki
obrót wokół każdej osi jest zatem określony przez jej własną specjalną macierz obrotu, zdefiniowaną w zupełnie inna przestrzeń, w której faktycznie żyją spinory (zamiast przestrzeni euklidesowej). Oznaczmy macierze rotacji przez kąt \ theta w kierunkach x, y, z jako R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Następnie ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Oto najfajniejsza część: czy zauważyłeś jak wszystkie te macierze rotacji używają półkąta \ frac {\ theta} {2} do obracania o kąt \ theta?
To prawda! To zjawisko podwajania kąta jest cechą charakterystyczną spinorów: możesz nawet udowodnić, że pomnożenie spinora przez te półkątne macierze jest równoważne obracaniu części przestrzennej przez pełny kąt.
I to „dosłownie to : wszystko, czego potrzebujesz aby dowiedzieć się o spinorach – że są one wektorami żyjącymi w swojej specjalnej przestrzeni i mają własne specjalne macierze rotacji – objęte jedną odpowiedzią Quora. Swoją uwagę ograniczyłem oczywiście do najprostszych spinorów na świecie, ale najważniejsze funkcje są prezentowane. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, skonsultuj się ze Steane (link powyżej).
Dlaczego zależy nam na spinorach
Spinors mają znaczenie, ponieważ okazuje się, że są w stanie opisać pełne spektrum zachowanie oczekiwane od cząstek subatomowych. W szczególności cząstki są powiązane z wewnętrznym momentem pędu, właściwością, którą nazywamy spinem (zobacz odpowiedź Briana Bi na pytanie Czy spin cząstek subatomowych faktycznie obejmuje moment pędu (tj. czy cząstka faktycznie * wiruje *)? pełny opis).Modelując cząstki jako spinory, a nie zwykłe wektory, jesteśmy w stanie z powodzeniem opisać oddziaływanie, jakiego oczekujemy od tego spinu, a także przedstawić pełny opis zachowania cząstek – w istocie spinory stanowią podstawę równania Diraca, które zastępuje równanie Schrodingera aby zapewnić równanie falowe zgodne ze specjalną teorią względności, co z kolei stanowi podstawę kwantowej teorii pola (rozszerzenie mechaniki kwantowej o opisanie sił).
Odpowiedź
Spinory to obiekty geometryczne, które istnieją żyjąc w rzeczywistych przestrzeniach wektorowych (w przeciwieństwie do złożonych lub kwaternionowych przestrzeni wektorowych).
Aby cofnąć się, wektor to obiekt, który istnieje w przestrzeni i mówi się, że wskazuje w określonym kierunku. Oznacza to, że jeśli obrócisz swoje osie, wektor składowych zmienia się w ten sam sposób.
Wektory mają tę własność, że jeśli obrócisz je o 360 cali, otrzymasz ten sam obiekt.
Istnieje wiele obiektów geometrycznych, które można zbudować z wektorów. Na przykład możesz wziąć dwa wektory i pomnożyć je razem, aby otrzymać tensory. W szczególności moment bezwładności tensora jest jednym z nich. Tensory mają tę właściwość, że jeśli obrócisz je o 360 „/ N, otrzymasz z powrotem ten sam obiekt i jeśli obróć je o 360 „, zawsze wrócisz do tego samego obiektu.
W przestrzeniach, które mają ortogonalną grupę symetrii (takie, które naturalnie powstają w rzeczywistych przestrzeniach wektorowych), istnieją inne typy obiektów geometrycznych, które są nie składa się z wektorów. Jednym ze sposobów jest to, że jeśli obrócisz je o 360 „, nie odzyskasz tego samego obiektu, zamiast tego otrzymasz -1 razy więcej niż oryginalny obiekt – wskazuje on na „przeciwny kierunek.
To są dziwne obiekty; jednak te obiekty są tymi, które naturalnie opisują obiekty o spinie 1/2 w fizyce.
Te obiekty istnieją z powodu dziwnej własności, że grupa symetrii ortogonalnej jest podwójnie połączona. Jest tu bogata struktura matematyczna, ale te obiekty są z moralnego punktu widzenia pierwiastkiem kwadratowym z wektora – to znaczy, jeśli pomnożymy razem dwa spinory, otrzymamy wektor, tak jak w przypadku mnożenia dwóch wektorów razem otrzymujemy tensor drugiego rzędu, taki jak w chwili tensora bezwładności.