Najlepsza odpowiedź
2x + y = 5, x – y = 1 ma unikalne rozwiązanie x = 2, y = 1. Proste 2x + y = 5, x – y = 1 przecinają się w jednym i tylko jednym punkcie, czyli w (1,2).
Jeśli istnieją dwie równoległe linie, takie jak x – y = 1 i x – y = 7 to nie ma rozwiązania równań x – y = 1, x – y = 7.
Jeśli 2 równania są w rzeczywistości takie same, jak x – y = 1,5 x – 5y = 5 to każdy punkt leżący na tej linii jest rozwiązaniem takim jak x = 3, y = 2 lub x = 1000 y = 999 i nie ma unikalnego rozwiązania.
staje się nieco bardziej interesująca w sytuacji, gdy są 3 zmienne, powiedzmy x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 ma unikalną rozwiązanie x = 1, y = 1, z = 1. Płaszczyzny 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 przecinają się w jednym i tylko jednym punkcie, czyli (1,1, 1).
Jeśli istnieją trzy równoległe płaszczyzny, takie jak x + y + z = 1, x + y + z = 4 i x + y + z = 8, to nie ma rozwiązania równań x + y + z = 1, x + y + z = 4 i x + y + z = 8.
Jeśli jedno równanie jest liniową kombinacją dwóch innych, to nie ma jednego rozwiązania. Oto przykład 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Nie tylko (1,1,1) jest rozwiązaniem, ale także (2,2, -2) i (3, 3, -7). W rzeczywistości istnieje nieskończoność rozwiązań.
Powodem jest to, że jedno równanie jest liniową kombinacją pozostałych
3x + z = 4 wynosi 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Istnieje wiele odniesień do tego tematu, ale miejmy nadzieję, że da ci to pewne pojęcie o unikalnych rozwiązaniach w systemach liniowych.
Odpowiedź
Moja odpowiedź zakłada najpierw, że jest to układ równań liniowych w porównaniu do układu z nierównościami liniowymi.
Krótka odpowiedź – wzajemnie wykluczające się opcje: brak rozwiązania, jedno unikalne rozwiązanie lub nieskończona liczba rozwiązań.
Długa odpowiedź – Rodzaj rozwiązań zależy w pewnym stopniu od liczby równań i zmiennych w układzie liniowym oraz sposobu opisu systemu.
Algebraicznie:
- System bez rozwiązań nazywany jest niespójnym systemem . Oznacza to, że nie ma zbioru wartości dla zmiennych, który jednocześnie rozwiązuje wszystkie równania w systemie. Następujący system jest niespójny:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- System z dokładnie jednym rozwiązaniem nazywany jest spójnym, niezależnym systemem. Spójne, ponieważ rozwiązanie istnieje i jest niezależne, ponieważ każde równanie jest niezależne od innych równań. Oznacza to, że każda wartość zmiennych w rozwiązaniu jest niezależna od wartości innych zmiennych. Istnieje dokładnie jeden zestaw wartości – jedna wartość na zmienną – który jednocześnie rozwiązuje wszystkie równania w systemie. Poniżej przedstawiono spójny, niezależny system (pobrany z mathisfun.com) z rozwiązaniem x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- System z nieskończenie wieloma rozwiązaniami nazywany jest spójnym, zależnym systemem. Jest to zależne, ponieważ co najmniej jedno równanie w systemie jest wielokrotnością innego równania lub kombinacją innych równań. Oznacza to, że podczas gdy inne zmienne w systemie mają tylko jedną wartość, która jednocześnie rozwiązuje wszystkie systemy, jedna lub więcej zmiennych może rozwiązać system z dowolną wartością. Poniżej przedstawiono spójny, zależny system z rozwiązaniem y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Graficznie (przykład systemu z trzema zmiennymi):
- System z dwiema zmiennymi można przedstawić za pomocą grupy linii na dwuwymiarowym wykresie (zwykle xy), podczas gdy system z trzema zmiennymi to zbiór linii lub płaszczyzn na trójwymiarowym wykresie (zwykle xyz).Tak więc system z n wieloma zmiennymi jest reprezentowany na n- wykresie wymiarowym.
- W spójnym, niezależnym systemie wszystkie płaszczyzny spotykają się w jednym punkcie (tj. 2 ściany i piętro spotykają się w rogu). W spójnym, niezależnym systemie użytym powyżej w algebraicznej odpowiedzi wszystkie trzy płaszczyzny przecinają się w punkcie (5,3,2).
- W spójnym , system zależny , wszystkie płaszczyzny spotykają się nie tylko w jednym punkcie, ale w linii (tj. trzy strony książki spotykają się na kręgosłupie). W systemie użytym powyżej w algebraicznej odpowiedzi wszystkie trzy płaszczyzny przecinają się na linii -5 y + 20 z = 27 (Zwróć uwagę, że x może być dowolną wartością w rozwiązaniu).
- W niespójny system , co najmniej dwie płaszczyzny są równoległe i dlatego nigdy się nie spotykają. Trzecia płaszczyzna może być równoległa do obu płaszczyzn (tj. Linii drogowych na ulicy) lub może przecinać je obie, ale nigdy w tym samym miejscu. (tj. przeciwległe ściany w pokoju i sufit).