Najlepsza odpowiedź
W matematyce naprawdę nie ma ogólnej definicji przestrzeni. Prawie każdy obiekt, o którym możemy pomyśleć wizualnie, można nazwać przestrzenią. Przestrzenie metryczne, rozmaitości, przestrzenie Hilberta, orbifoldy, schematy, przestrzenie miar, przestrzenie prawdopodobieństwa i stosy modułów to wszystko, co nazywamy przestrzeniami.
Najbardziej zbliżoną do ogólnej definicji przestrzeni jest prawdopodobieństwo, pojęcie przestrzeń topologiczna. Na przykład przestrzenie metryczne, rozmaitości, przestrzenie Hilberta, orbifoldy i schematy są przestrzeniami topologicznymi o nieco większej strukturze.
Przestrzeń topologiczna składa się z zestawu punktów, X i zbioru podzbiorów z X, które nazywamy „otwartymi”, z zastrzeżeniem warunków, które
- Pusty zbiór i sam X są otwarte,
- Każda suma otwartych zbiorów jest otwarta,
- A przecięcie pary otwartych zbiorów jest otwarte.
Zbiory otwarte mają przypominać podzbiory otwarte \ mathbb {R}. Ryzykując brakiem dokładności, myślimy o zbiorach otwartych jako o podzbiorach U z X, tak że każdy punkt U może zostać nieco przesunięty bez opuszczania U. Tak jest dosłownie w przypadku \ mathbb {R}, ponieważ otwarte zbiory są zdefiniowane jako podzbiory U tak, że dla wszystkich x \ in U występuje \ epsilon> 0, tak że (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ podzbiór U (tj. przesunięcie x o mniej niż \ epsilon nie da punktu poza U).
Okazuje się, że ta minimalna ilość informacji – zbiór punktów i zbiór otwartych podzbiorów – wystarczy, aby stwierdzić, czy funkcje są ciągłe. To sprawia, że przestrzenie topologiczne są naprawdę użyteczne.
Z drugiej strony, nie każda przestrzeń w matematyce jest przestrzenią topologiczną lub nawet, jak odpowiedzieli inni, zbiorem punktów o jakiejś dodatkowej strukturze. Byłem zdumiony, że nauczyłem się tego kilka semestrów temu.
Kontrprzykład, który mam na myśli, to idea stosu modułów, która (to robi się dziwne!) Jest szczególnym rodzajem funktor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, gdzie obraz wstępny każdego obiektu D z \ mathcal {D} jest uważany za zbiór funkcji ciągłych od D do przestrzeni, którą ma reprezentować F.
Jak to u licha jest przestrzeń? Aby uzyskać pewną intuicję, rozważ zbiór funkcji ciągłych z przestrzeni składającej się z pojedynczego punktu do przestrzeni topologicznej X. Dla każdego punktu p \ w X otrzymujemy funkcję przenoszącą pojedynczy punkt do p. W tym sensie zbiór funkcji ciągłych od punktu do X opisuje punkty X. Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcje z czegoś bardziej wyszukanego, powiedzmy odcinka linii, do X zaczynamy rozumieć, w jaki sposób punkty X są powiązane siebie nawzajem – które z nich można połączyć ścieżką, które są blisko, a które są daleko od siebie i tak dalej. Rozważając wszystkie możliwe zestawy funkcji w X, możemy właściwie wywnioskować dokładnie , czym jest X. Jest to idea, która nosi nazwę Lematu Yoneda . Ideą stosu modułów jest użycie tego jako metafory: każdy funktor, który „wygląda”, opisuje funkcje w przestrzeni topologicznej, może być użyty do zdefiniowania „przestrzeni”.
Co chcę podkreślić jest to: w matematyce istnieje wiele rodzajów przestrzeni, ale jeśli chcesz uzyskać podstawowe pojęcie o tym, czym jest przestrzeń, powinieneś przestudiować przestrzenie topologiczne. To powiedziawszy, robi się dziwnie!
Odpowiedź
Przestrzeń sama w sobie nie ma zbyt dużej formalnej definicji. To prawie matematyczna wersja słowa „rzecz”. Być może bliższym synonimem jest „zestaw”, ale słowo „przestrzeń” oznacza, że jest jakiś dodatkowy składnik… jakaś struktura… która też jest w grze. W przeciwnym razie użyliby tylko słowa „zestaw”.
Różne rodzaje spacji mają definicje. Przestrzeń wektorowa to zbiór wektorów, który podlega pewnym regułom. Przestrzeń topologiczna to zestaw wraz ze specjalnym zbiorem podzbiorów które spełniają pewne zasady. Przestrzeń metryczna to zestaw wraz z odpowiednią formułą określającą odległość między punktami w zestawie. Często specjalne typy przestrzeni mają opisowe nazwy, takie jak te.
Inne typy przestrzeni są nazwane na cześć ludzi, którzy je badali. Przestrzenie Banacha, przestrzenie Hilberta, przestrzenie Sobolewa … to są wszystkie specjalne typy przestrzeni wektorowych z odrobiną dodatkowej struktury to czyni je interesującymi na swój sposób i są nazwane od osób, które odegrały znaczącą rolę w tworzeniu tej historii.