Najlepsza odpowiedź
Ach! To fajna obserwacja, a to, czego nas uczy, to to, że systemy liczbowe-wartość pozwalają niektórym liczbom mieć wiele reprezentacji z różnymi cyframi.
Sugeruję, abyś spróbował znaleźć różnicę między dwoma wyrażeniami liczbowymi ( to znaczy pokaż, że między nimi jest liczba).
Naprawdę nie możesz tego zrobić w zwykły sposób, ponieważ nie ma ostatnich 9 cyfr, aby rozpocząć odejmowanie od najmniej znaczącej cyfry , jest tu? Dzieje się tak dlatego, że ciągną się w nieskończoność.
Zasadniczo jednak możesz zacząć od najbardziej znaczącej cyfry i nadal „pożyczać” ją po prawej stronie, zamiast „pożyczać” od lewej.
Więc jeśli spojrzymy na kilka pierwszych cyfr, mamy
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
„Pożyczanie” po prawej stronie oznacza, że jedną częścią górnej liczby jest dziesięć dziesiątych (tak jest!). Odejmowanie dziewięciu dziesiątych daje jedną dziesiątą. Ale możemy potem „pożyczyć” to w prawo dziesięć setnych i odejmij dziewięć setnych od tego i kontynuuj w nieskończoność.
I to trwa w nieskończoność. Nie ma miejsca, w którym proces się zatrzymuje i pozostawia 1 cyfrę, ponieważ (w pewnym sensie), aby zakończyć ten (nieskończony) proces pozostawiłby tylko zera, postępując „do końca” w prawo.
Istnieją inne – bardziej rygorystyczne i eleganckie – sposoby udowodnienia, że 0. \ dot {9} = 1.
Innym sposobem myślenia o tym jest zrzucenie ciężaru, jakim jest ułamek dziesiętny b System ase (podstawa dziesięć) i liczyć w układzie trójskładnikowym (podstawa trzy). Ternary to system, w którym liczymy 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ punktów. Liczby w układzie trójskładnikowym nie mają punktów dziesiętnych, ale punkty trójskładnikowe. W trójskładniku mamy \ frac {1} {3} = 0,1 i \ frac {2} {3} = 0,2.
Ale potem ułamek \ frac {1} {2} = 0. \ kropka {1} nie przerywa! Nie wspominając o tym, że w trójskładnikowym, nie powtarzającym się 0. \ dot {2} = 1, ponieważ jest to dokładnie dwa razy więcej niż poprzednie wyrażenie (jeśli zamienisz prawą i lewą stronę równości, musi tak być).
To jest wielka i potężna cecha równości. Ponieważ wiemy, że u podstawy dziesięć \ frac {1} {3} = 0 \ dot {3}, a następnie \ frac {3} {3} = 1 = 0 \ dot {9}, udowadniając, że ta sama liczba może mają wiele reprezentacji w tym samym systemie liczbowym wartości miejsca.
Morał tej historii jest taki, aby nie dać się wciągnąć w coś, co nazywamy rzeczami, ale zamiast tego skup się na tym, co one są i co robią .
Odpowiedź
Tak, jedna podzielona przez trzy są możliwe w polach liczb rzeczywistych lub wymiernych i są równe jednej trzeciej.
nie jest możliwe przedstawienie jednej trzeciej przy użyciu skończona dziesiętna notacja pozycyjna. Jeśli chcesz użyć reprezentacji nieskończonej , takiej jak ta wynikająca z kropek w 0.333 \ dotsc, lepiej będzie mieć jakiś formalny sposób na powiedzenie, co to znaczy. Matematycy mają taką formalną specyfikację, zwaną limitami, w której 0,999 \ dotsc = 1.
Zauważ, że dziesiętna reprezentacja liczby nie jest samą liczbą. Tak jak nie jesteś swoim imieniem, pseudonimem ani żadnym z wielu identyfikatorów. Liczby mają mnóstwo reprezentacji, w tym wiele różnych baz, słów, wyrażeń i tak dalej. Reprezentacje jednej trzeciej to:
- 0,333 \ dotsc (dziesiętne)
- 0,1\_3 (trójskładnikowe)
- \ frac13
- 20 „(minuty – jedna trzecia godziny)
- 120 ° (stopnie – jedna trzecia okręgu)
- \ frac26
i tak dalej.
Faktyczna liczba jedna trzecia sama w sobie pozostaje z dala od wszystkich tych reprezentacji. Jest zdefiniowana przez swoją właściwość bycia jednym podzielonym przez trzy. Innymi słowy, jest to liczba, która daje jeden po pomnożeniu przez trzy. Cała reszta to tylko zapis tymczasowy, który, jak zauważyłeś, jest nieco niezdarny w liczbach dziesiętnych.