Najlepsza odpowiedź
Czy okrąg jest funkcją, czy nie? Dlaczego?
Ściślej mówiąc, jeśli używasz współrzędnych kartezjańskich, nie ma jawnej funkcji x z zakresem będąca wartością y, której punkty leżą na pełnym okręgu. Powodem tego jest to, że dla prawie każdej wartości x w okręgu istnieją dwie wartości y odpowiadające górnym i dolnym półkolom, podczas gdy jawna funkcja musi mieć unikalną wartość dla każdej wartości x. Więc najlepsze, co możemy zrobić, to użyć dwóch funkcji x, po jednej dla każdego z tych półkoli. Na przykład dla okręgu o promieniu \ text {R} wyśrodkowanym na początku:
\ qquad y = \ pm \ sqrt {\ text {R} ^ 2-x ^ 2}
Tutaj wybranie + daje funkcję, której punkty leżą na górnym półkolu, a wybranie – daje funkcję z punktami na dolnym półkolu.
Ale z pewnością możemy użyć niejawna funkcja związana z dwoma współrzędnymi, np .:
\ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = \ text {R} ^ 2
Istnieją również inne sposoby konstruowania funkcji jawnych dla okręgu przy użyciu różnych dziedzin i zakresów funkcji. Poniższy przykład to jawna funkcja definiująca okrąg we współrzędnych kartezjańskich:
\ qquad f (t) = (\ text {R} \ cos (t), \ text {R} \ sin (t))
Tutaj dziedziną jest jak zwykle zbiór liczb rzeczywistych \ R, ale w tym przypadku zakres funkcji to zbiór punktów na płaszczyźnie xy, pamiętając, że możemy mieć dowolne zestawy, które lubimy dla dziedziny i zakresu funkcji. W tym przypadku jednak zauważ, że to wartości funkcji leżą na okręgu, a argument t jest zmienną niezależną.
I oczywiście nie musimy trzymać się współrzędnych kartezjańskich. Jeśli zamiast tego użyjemy współrzędnych biegunowych dla płaszczyzny, wówczas możemy mieć bardzo prostą jawną funkcję dla okręgu, np .:
\ qquad r (\ theta) = \ text {R}
W praktyce wszystkie powyższe funkcje, jawne i niejawne, są powszechnie używane w matematyce, gdy mamy do czynienia z kręgami.
Odpowiedź
Okrąg to zbiór punktów na płaszczyźnie. Funkcja to odwzorowanie z jednego zestawu na inny, więc są one zupełnie różnymi rodzajami rzeczy, a okrąg nie może być funkcją.
Prawdopodobnie chciałeś zapytać, czy okrąg jest wykresem jakiejś funkcji. Wykres funkcji f jest zbiorem par (x, f (x)) dla wszystkich x w dziedzinie, które można zinterpretować jako punkty na płaszczyźnie.
A więc pytanie brzmi czy istnieje funkcja, której wykresem jest okrąg.
Odpowiedź brzmi: nie, ponieważ każda wartość w domenie jest powiązana z dokładnie jednym punktem w kodomenie, ale linia przechodząca przez okrąg zwykle przecina okrąg w dwie sprawy.
Tego rodzaju rzeczy są niewygodne, ponieważ okręgi są bardzo ważne w geometrii. Czasami punkty koła są opisywane przez relację , określoną przez (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2, gdzie (a, b) jest środkiem, a r jest promieniem. Ze względu na kwadraty mogą istnieć dwie różne wartości y, które sprawiają, że relacja jest prawdziwa dla różnych wartości x, więc wykres funkcji relacja to okrąg.